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Une primitive qui pose problème

Posté par
RyuuZ 05-05-08 à 21:19

Bonsoir à tous, je bute actuellement sur une primitive pour un DM

Pour n , déterminer une primitive de (x2n+1)/(x²+1)

Merci de votre éventuelle aide !

Posté par
Nightmarere : Une primitive qui pose problème 05-05-08 à 21:23

Bonsoir

une DES comme d'hab non?

Posté par
RyuuZre : Une primitive qui pose problème 05-05-08 à 21:37

J'y ai songé, mais je ne vois pas comment faire :p

Posté par
Nightmarere : Une primitive qui pose problème 05-05-08 à 21:39

Distingue le cas n pair et n impair!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une primitive qui pose problème 05-05-08 à 22:31

Bonjour ;

Si on note F_n la primitive sur \mathbb{R} de x\to\frac{x^{2n+1}}{x^2+1} qui s'annule en 0 , on a pour tout réel x et entier positif n ,

3$\fbox{F_n(x)=\int_{0}^{x}\frac{t^{2n+1}}{t^2+1}dt} et donc pour tout entier \blue n>0 , 3$\fbox{F_n(x)+F_{n-1}(x)=\int_{0}^{x}\frac{t^{2n+1}+t^{2n-1}}{t^2+1}dt=\frac{x^{2n}}{2n}}

qui s'écrit aussi 3$\fbox{(-1)^nF_n(x)-(-1)^{n-1}F_{n-1}(x)=\frac{(-1)^nx^{2n}}{2n}} d'où par téléscopie 3$\fbox{(-1)^nF_n(x)=F_0(x)+\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k}}{2k}}

c'est à dire 4$\blue\fbox{F_n(x)=(-1)^n\ell n(\sqrt{x^2+1})+\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{n-k}x^{2k}}{2k}} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
RyuuZre : Une primitive qui pose problème 05-05-08 à 22:51

Merci, mais rien à faire, elle me bloque complètement :S

Tu n'aurais pas un autre petit filon ?

Posté par
RyuuZre : Une primitive qui pose problème 05-05-08 à 22:52

ah, merci infiniment elhor_abdelali ! Tout s'éclaire maintenant, évidemment :p

Désolé pour le double post, et bonne nuit !


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