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Unicité d'un point fixe
Bonjour
je bloque sur cette question :
on admet qu'une fonction contractante admet au moins un point fixe. Montrer qu'un tel point fixe est unique.
Merci d'avance !
Suppose que f contractante a deux points fixes distincts a et b, et montre que nécessairement a=b. On peut considérer la distance entre a et b, en utilisant le fait que f est contractante et que a et b sont fixes par f.
Bonsoir,
Vu que tu es seulement là pour avoir une réponse, alors :
Soit ,
des espaces métriques et
.
est dite contractante s'il existe
tel que
toutes les fois que ,
. Supposons qu'il en soit ainsi et soit
,
tels que
et
. Il vient alors immédiatement que
en vertu de la définition ci-dessus ; ce qui exige finalement que (...)
Bonne nuit !
Bonsoir !
Tout en ayant la definition d'une fonction contractante je n'arrive pas à comprendre quel condition garantirait qu'elle est contractante, voiçi l'énoncé :
Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Donner une condition garantissant qu'elle est contractante.
Si quelqu'un saurait me guider...
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salut
pense au theoreme des accroissement fini et à une taille limite pour f'
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Salut milton !
A vrai dire je ne vois pas vraiment..
Le théorème des accroissements finis énonce que si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ alors il existe c
]a,b[ tel que f(b) - f(a) = (b-a) f'(c)
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Le théorème des accroissements finis énonce que si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ alors il existe c]a,b[ tel que f(b) - f(a) = (b-a) f'(c)
Et tu ne vois pas le lien ?
On a alors
Bien sûr, pour en tirer quelque chose, il faudrait appliquer ce théorème à autre chose que sur (a,b).
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k | x - y | ?
Bon je vois que ça patauge un peu alors je vais t'aider.
Soient x et y appartenant à [a,b]. On suppose x<y.
En appliquant le théorème des accroissements finis sur (x,y), il vient qu'il existe c appartenant à ]x,y[ tel que :
f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)
Donc :
Une condition suffisante serait de dire que |f'| est majoré sur ]a,b[ par un nombre M strictement inférieur à 1 : M<1.
Alors, pour tout c]x,y[
]a,b[,
Et donc .
D'où le caractère contractant de f car M<1.
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Ok j'ai compris ! merci WilliamM007. La dernière question de l'exercice je n'ai rien dans mon cours qui parle de ça... voiçi la question :
On admet qu'une fonction contractante admet au moins un point fixe. Montrer qu'un tel point fixe est unique.
Il faudrait supposer que la fonction contractante a deux points fixes distincts, a et b et démontrer que a=b.
Mais comment le démontrer ?
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Double post. Tu as déjà eu la réponse ici : 
Unicité d'un point fixe
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