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Union et intersection

Posté par
SkyMtn 31-07-17 à 04:07

Bonjour, quel sens donner à cette écriture que l'on peut retrouver dans plusieurs ouvrages (malheureusement sans précisions ou véritable formalisation) :  \bigcup_{n=0}^\infty A_n ou \bigcap_{n=0}^\infty A_n ?
C'est pas un petit peu dangereux de parler de "limite" pour l'union et l'intersection sans avoir au préalable introduit une topologie sur les parties d'ensembles ? :/

Merci d'avance

Posté par
bbomathsre : Union et intersection 31-07-17 à 07:50

Bonjour.

Le plus simplement possible :  

\bigcup _{n = 1}^{n = +\infty} A_n =  A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ... \cup A_n    

\bigcap _{n = 1}^{n = +\infty} A_n =  A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap ... \cap A_n    

Personnellement mais je me trompe peut-être, je ne vois pas de problème de "limite" mais plutôt une facilité de dénombrement...

Posté par
SkyMtnre : Union et intersection 31-07-17 à 08:19

Ou alors un bête abus de notation pour signifier respectivement \bigcup_{n\in\N} et \bigcap_{n\in\N}...
Si tel est le cas, ça prête à confusion... à mon avis, certains pourraient naïvement le voir comme une limite... :/

Posté par
luzakre : Union et intersection 31-07-17 à 08:20

Bonjour !
Non bbomaths, la valeur n=+\infty est très suspecte.

@SkyMtn : où as-tu déniché tes relations ? Es-tu sûr d'avoir bien lu ?

Au cas où tu te serais trompé, \bigcup_{n=0}^{n=p}A_n=A_0\cup A_1\dots\cup A_p

Posté par
SkyMtnre : Union et intersection 31-07-17 à 08:23

Bnsour luzak, oui j'ai bien lu sur plusieurs docs relatifs à la théorie de la mesure (notamment)  les notations avec n=\infty. C'est pour ça que ça m'interpelle... c'est assez bizarre comme notation (je ne l'ai jamais vu auparavant)

Posté par
SkyMtnre : Union et intersection 31-07-17 à 08:23

*Bonjour

Posté par
NicoTialre : Union et intersection 31-07-17 à 09:20

As tu déjà vu le théorème de la limite monotone en probabilité ? On utilise exactement  cette notation :
Rappel : Théorème de la limite monotone :
       (i) (A_{n}) une suite croissante, alors P(A_{n})\longrightarrow _{n\rightarrow} \infty}           P(\bigcup_{n=0}^\infty A_n)
      (ii)(A_{n}) une suite décroissante, alors P(A_{n})\longrightarrow _{n\rightarrow} \infty}            P(\bigcap_{n=0}^\infty A_n)

Posté par
jokassre : Union et intersection 31-07-17 à 09:54

Salut,

je vois souvent que tu remets en cause les définitions mathématiques (ce qui est à la fois bien et aussi, dans une certaine mesure, mal) mais tu sais tu devrais aussi te dire que des gens ont réfléchit de nombreuse années sur le sujet donc il ne faut pas tout de suite se dire que c'est FAUX mais plutôt réfléchir à pourquoi c'est VRAI. Moi c'est ce que je fais et ça m'aide beaucoup pour toutes notions ultra abstraite. Essayer de reconstruire le schéma de pensé des gens avant nous.

Ceci étant dit la notion d'infini par intersection et union est tout à fait correcte, c'est même la base de la théorie de la mesure...
Une sigma-algèbre étant une algébre stable par UNION INFINI.
De plus une limite superieur et inférieur existe toujours!

\bigcup_{n=1}^{\infty }{A_{n}}=lim A_{n} si AnAn+1
\bigcap_{n=1}^{\infty}{A_{n}}=lim A_{n} si An+1An

On peut définir les limites comme:
limsupA_{n}=liminf{\bigcup_{p\succeq n}^{}{A_{p}}}=\bigcap_{n}^{}{}\bigcup_{p\succeq n}^{}{A_{p}}=[w\in \Omega,\sum_{1}^{\infty}{1_{A_{n}}}=+\infty]

liminfA_{n}=limsup\bigcap_{p\succeq n}^{}{A_{p}}=\bigcup_{n}^{}{}\bigcap_{p\succeq n}^{}{A_{p}}=[w\in \Omega,\sum_{1}^{\infty}{1_{A^{c}_{n}}}<+\infty]

Dans le cas de la théorie de la mesure appliqué aux probabilités, on construira souvent des suite croissantes.

Ceci explique le message de NicoTial.

Posté par
Razesre : Union et intersection 31-07-17 à 11:07

Bonjour,

On l'utilise aussi en topologie:

L'intersection infinie d'ouverts n'est pas forcément un ouvert.

Ainsi que pour les fermés.

Généralement, c'est pour les cas d'inervalles (ou boules) dont les bornes dependent de n.

Posté par
ThierryPomare : Union et intersection 31-07-17 à 11:40

@SkyMtn : La prochaine fois, tu voudras bien répondre aux questions qui te sont posées, par exemple ici Théorème du changement de variable

Posté par
SkyMtnre : Union et intersection 31-07-17 à 14:28

Bonjour jokass, désolé de ne pas accepter les définitions sorties d'un chapeau, et de ne pas les apprendre bêtement comme un lycéen. Quand des résultats paraissent incohérents (pas nécessairement faux)... je préfère confronter mon opinion, et chercher dans quelle mesure il peut être énoncé ou justifié, afin de coïncider avec les axiomes et les résultats déjà établis et ne pas être incohérent avec le système ZF que j'ai choisi.

Après, pour revenir au sujet, je reste d'avis que c'est assez délicat "de parler de limite" pour l'intersection et l'union. On peut parler de limite sur des ensembles où l'on a "bien défini" la notion de convergence.

Par ailleurs, le résultat concernant les suites croissantes pour l'inclusion, je le connait sous le nom de continuité de la mesure : \mu\big(\bigcup_{n\in\N} A_n\big) = \lim_{n\to\infty} \mu(A_n) (similaire pour le cas décroissant)... mais pas sur l'union elle même :/

Posté par
jokassre : Union et intersection 31-07-17 à 21:03

Je ne t'ai pas dit de les "accepter sans se poser de questions" ou "d'apprendre bêtement" mais libre à toi d'interpréter comme tu l'entends. Il y a plusieurs façon de remettre en question les choses. L'une d'elle et de se dire que c'est incohérent et ainsi de trouver une cohérence et une autre est par exemple de se dire que c'est cohérent et d'essayer de trouver une incohérence.

Pourquoi trouves tu cela "assez délicat"?
Certaines suite ne converge pas pourtant on l'étudie aisément à l'infini, pourquoi ce serait différent avec les unions et intersections?
Pourquoi affirme tu que "on peut parler de limite (que) sur des ensembles où l'on a "bien défini" la notion de convergence?

Posté par
SkyMtnre : Union et intersection 31-07-17 à 21:44

Je trouve que c'est bizarre d'écrire \lim A_n = A... comment prouver que ce A existe et qu'il est unique (pour pouvoir parler de limite sans ambiguïté) si on ne définit pas explicitement la limite de parties mesurables... comme en topologie avec les voisinages ouverts...

Posté par
jokassre : Union et intersection 31-07-17 à 22:48

Si la limite existe, elle est unique.
Je t'ai écrit spécifiquement la limsup et la liminf de parties mesurables...

Quel est explicitement le problème?


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