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urgprobleme trigo

Posté par
lucasdup 20-08-15 à 04:53

Bonjour à tous,

J'appelle à la générosité des plus anciens, j'ai deux questions de trigonométrie, qui constitue un probleme pour ma part que je n'arrive pas à résoudre.  
La 1ere :

Démontrer que, pour tout réel x,

cos^4(x) + cos^4(x+pi/4) +cos^4(x+2pi/4) +cos^4(x+3 c/ 4) = 3/2

je ne vois pas que représente "c"   ici qui est habituellement le signe de l'inclusion.
J'ai beau utiliser les formules de trigo, ca ne veut pas ...

La 2eme:

Déterminer une expression algébrique de a = cos( pi/8)  et b= cos(5pi/24).


Je remercie d'avance celui qui me donnera un procédé de réponse détaillé, de tel manière que je parvienne à savoir de quelle facon s'y prendre avec ce genre de problème.

ps: je sais il est tres tard pour vous dire ce qu'on ferait pas pour les maths ...

Bonne soirée


Posté par
Pirhore : urgprobleme trigo 20-08-15 à 08:07

Bonjour,

Exercice 1: il doit y avoir une erreur dans l'énoncé car si c=3pi/4, on trouve bien 3/2.

Exercice 2: pour le 'a' utilise la formule cos(2x)=2cos^2(x)-1

pour le 'b' je te laisse réfléchir

Posté par
Pirhore : urgprobleme trigo 20-08-15 à 09:08

Erreur dans mon post précédent. Il faut lire si c=pi/4

Posté par
lucasdupre : urgprobleme trigo 20-08-15 à 12:14

Merci Pirho,

Pour la 1ère tu pourrais me pister davantage, est ce qu'il s'agit de lineariser à euler,
en meme temps cette somme de x+ x+pi/4  +   x+2pi/4    + x+ 3pi /4 doit bien dire quelque chose.

Pour la 2eme cos(pi/4) = 2cos^2 (pi/8) - 1 = racine(2)/2 puis je vois pas où aller avec ces tour de passe passe,  et puis  le b je doute que ce soit la difference de pi/3 et pi/8 et toujours pas d'horizon de sens  ...

Posté par
Zeroplusre : urgprobleme trigo 20-08-15 à 12:43

Je crois que le premier membre est la partie réelle de la somme des premiers termes d'une série géométrique fabriquée avec l'exponentielle complexe ...

Posté par
mdr_nonre : urgprobleme trigo 20-08-15 à 12:43

bonjour : )

1) voici une façon de faire :
utilise les formules d'Euler pour transformer ton cos,
utilise ce que tu sais des formules du binômes pour développer (a + b)^4
regroupe les termes qui se ressemblent (et éventuellement utilise à nouveau les formules d'Euler)

2) oui, te reste maintenant à isoler cos^2(pi/8) puis prendre une racine carrée...
pour rester sur ce genre de méthode tu dois exprimer 5.pi/24 en fonction des angles remarquables, un début :
5.pi/24 = (1/2)(5.pi/12) = (1/2)(pi - 7.pi/12)
maintenant comment formes-tu 7.pi/12 ? : )

il existe d'autres méthodes avec les complexes...

Posté par
Zeroplusre : urgprobleme trigo 20-08-15 à 12:47

Si l'on cherche du côté de
exp[i(4x + k)]

Posté par
Pirhore : urgprobleme trigo 20-08-15 à 13:59



Ou, pour la question 2:   cos(\dfrac{5\pi}{24})=cos(\dfrac{5\pi}{2\times12})

cos(\dfrac{5\pi}{12})=cos({\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4})

Posté par
carpediemre : urgprobleme trigo 20-08-15 à 14:23

salut

en posant p = pi et sachant que cos(x + p/2) = -sin x on en déduit que

cos^4x + cos^4(x + p/4) + cos^4(x + 2p/4) + cos^4(x + 3p/4) = cos^4x + sin^4x + cos^4(x + p/4) + sin^4(x + p/4) = 2 - \dfrac 1 2 sin^2(2x) - \dfrac 1 2 sin^2(2x + p/2)= 2 - \dfrac 1 2 [sin^2(2x) + cos^2(2x)] = ...

puisque sin(x + p/2) = cos x

...

Posté par
lucasdupre : urgprobleme trigo 20-08-15 à 16:31

MERCI A TOUS,

la 2eme j'ai compris, je m'y suis attelé par contre pour ce qui est de résoudre le 1ere question avec euler, est ce correct de s'en tenir a écrire l'égalité suivante :

cos^4(x +pi/4) =( e^i(x+ pi/4) + e^i(x+pi/4)) / 2  ) ^4   en développant le tout par le binome de newton ( que je viens de decouvrir ) pour les identité remaquable à la puissance ^x , et aussi les parenthèse au dessus des  e , en l'occurence ici à la puissance4, toujours grace aux formules du binome de newton ?

carpe diem,  comment passer de cos^4(x+3pi/4) à sin^4(x+pi/4) , et dire avoir utilisé la formule cos(x+pi/2)= -sin x . Je pose peut être mal ma question mais c'est pour connaitre les limites du champ du possible avec lequel on peut bidouiller les formules trigonométriques.

ps: Je tenais à vous dire que je suis très enthousiaste à l'idée de cette contribution que vous apportez, sur ce forum, vous avez mon admiration.

Posté par
carpediemre : urgprobleme trigo 20-08-15 à 17:10

3p/4 = p/4 + p/2 ...

Posté par
freniclere : urgprobleme trigo 21-08-15 à 13:51

Bonjour,


\cos^4(x)+\cos^4(x+\frac{\pi}{4})+\cos^4(x+\frac{\pi}{2})+\cos^4(x+\frac{3\pi}{4})= \\ \\ =\cos^4(x)+[\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos(x)-\sin(x))]^4+[-\sin(x)]^4+[-\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos(x)+\sin(x))]^4= \\ \\ =\cos^4(x)+\frac{1}{4}[\cos^4(x)-4\cos^3(x)\sin(x)+6\cos^2(x)\sin^2(x)-4\cos(x)\sin^3(x)+\sin^4(x)]+\sin^4(x)+ \\ \\ +\frac{1}{4}[\cos^4(x)+4\cos^3(x)\sin(x)+6\cos^2(x)\sin^2(x)+4\cos(x)\sin^3(x)+\sin^4(x)]= \\ \\ =\frac{3}{2}\cos^4(x)+\frac{3}{2}\sin^4(x)+3\cos^2(x)\sin^2(x)=\frac{3}{2}[\cos^2(x)+\sin^2(x)]^2=\frac{3}{2}

Posté par
freniclere : urgprobleme trigo 21-08-15 à 14:58

Autrement, si l'on pose

f(x):=\cos^4(x)+\cos^4(x+\frac{\pi}{4})+\cos^4(x+\frac{\pi}{2})+\cos^4(x+\frac{3\pi}{4})

et

g(x):=\cos^4(x)+\sin^4(x), on remarque que f(x)=g(x)+g(x+\frac{\pi}{4})

Or g'(x)=-4\sin(x)\cos^3(x)+4\cos(x)\sin^3(x)=4\sin(x)\cos(x)(\sin^2(x)-\cos^2(x))=-\sin(4x)

On a donc f'(x)=g'(x)+g'(x+\frac{\pi}{4})=-\sin(4x)-\sin(4(x+\frac{\pi}{4}))=-\sin(4x)+\sin(4x)=0

La fonction f est donc constante et vaut f(0)=\frac{3}{2}

Posté par
mdr_nonre : urgprobleme trigo 21-08-15 à 17:59

super frenicle : )

Posté par
lucasdupre : urgprobleme trigo 23-08-15 à 17:29

Merci BEAUCOUP frenicle !!!!

c'est super clair.

pour en revenir au propos de Zeroplus : Je crois que le premier membre est la partie réelle de la somme des premiers termes d'une série géométrique fabriquée avec l'exponentielle complexe ...

je n'ai pas bien compris si tu peux etre plus explicite pour les petits esprits de mon genre ...


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