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Posté par
luzakre : Valeur d'adhérence de la suite cos( ln n) 18-09-23 à 09:26

Citation :
Jamais vu un truc aussi compliqué.

Faut apprendre les langues orientales puisque tu as "oublié" ta critique favorite : c'est du chinois...
Si tu savais ce qu'est une partie entière tu écrirais n\leq\exp(\arccos(\ell)+2m\pi)<n+1 ce qui fait apparaître à la fois u_n,\;\ell. La fonction "cosinus" étant 1-lipschtzienne tu as immédiatement une majoration |u_n-\ell|\leq\log(n+1)-\log n\leq1/n.
Il te reste à montrer qu'on a bien n\geq m>p. Avec la minoration de n+1 et un minimum de connaissance concernant la comparaison de e^x et x c'est évident.

Posté par
Matesupere : Valeur d'adhérence de la suite cos( ln n) 18-09-23 à 11:33

Ramanujan @ 17-09-2023 à 23:35

\ln (n) \notin ]\arccos(u+ \varepsilon), \arccos(u-\varepsilon) [
Je ne comprends pas le rapport avec le \ln(n+1)-\ln(n)

Oui, tu ne peux pas comprendre le rapport puisque que ce tu as écrit est faux.
Remarque: cos(a)=cos(b) n'est pas équivalent à a=b

Posté par
Ramanujanre : Valeur d'adhérence de la suite cos( ln n) 18-09-23 à 12:17

Matesupe je ne comprends pas ta méthode, mais je suis celle de l'exercice que j'ai mis plus haut.

Luzak merci j'ai commencé à comprendre en regardant les questions de l'exercice détaillé que j'ai posté. L'exercice que j'ai posté utilise ta méthode mais en détaillant beaucoup plus.

2.b) Montrer qu'il existe un entier n_1  \geq n_0 tel que la suite ( \varphi(n))_{n \geq 1} soit strictement croissante.

Soit n  \geq n_0. f^{-1} est continue sur [2 n \pi, 2(n+1) \pi] et dérivable sur  ]2 n \pi, 2(n+1) \pi[, d'après le théorème des accroissements finis, il existe 2n \pi < c_n < 2(n+1) \pi tel que :

f^{-1}(t+2 (n+1) \pi) -f^{-1} (t+2 n \pi)= (f^{-1})'(c_n) \times 2 \pi

Mais c_n \geq 2n \pi donc c_n \longrightarrow + \infty et \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f^{-1} '(x)=+ \infty

Il existe donc f^{-1} (c_{n_1} ) >1 et donc n \geq n_1 \\ \implies f^{-1}(t+2 (n+1) \pi) -f^{-1} (t+2 n \pi) >  2 \pi > 1

Ainsi \boxed{\lfloor f^{-1}(t+2 (n+1) \pi) \rfloor >\lfloor f^{-1} (t+2 n \pi) \rfloor}

Donc il existe n_1 \geq n_0 tel que \varphi(n+1) > \varphi(n).

2.c) Montrons que \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (t+2 n \pi -f( \varphi(n)) )=0

On a pour tout n \geq n_1 0 \leq t+2 n \pi -f( \varphi(n)) < f( \varphi(n)+1)-f( \varphi(n))

On utilise de nouveau le théorème des accroissements finis, à f cette fois, il existe a_n \in ]\varphi(n),\varphi(n)+1[ tel que f(\varphi(n)+1)-f( \varphi(n))=f'(a_n)
Mais a_n \longrightarrow + \infty car \varphi(n) \geq net \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x)=0

On en déduit : f'(a_n) \longrightarrow 0

Finalement \boxed{\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}  (t+2 n \pi -f( \varphi(n)) )=0} par comparaison.

Il ne me reste pas grand chose pour terminer l'exercice.

Posté par
lionel52re : Valeur d'adhérence de la suite cos( ln n) 18-09-23 à 12:23

Magnifique la résolution de l'exercice en 50 questions, de quoi continuer à mettre Ramanujan la tête dans le guidon

Posté par
Ramanujanre : Valeur d'adhérence de la suite cos( ln n) 18-09-23 à 13:14

Pour l'instant j'ai la tête dans le guidon et je répond aux questions mécaniquement mais quand j'aurais fini la résolution je réfléchirai à l'idée derrière l'exercice en remplaçant f par \ln.
J'essaierai de comprendre comment on a construit l'application \varphi.

Posté par
Ramanujanre : Valeur d'adhérence de la suite cos( ln n) 18-09-23 à 19:25

Il m'aura fallu 2 jours, mais j'ai réussi à terminer l'exercice tout seul. Il est vraiment très bien guidé. C'est un très bon exercice pour un oral de l'agrégation interne, car il couvre de nombreux points au programme : valeur d'adhérence, théorème des accroissements finis, suite extraite, fonctions arccosinus, théorème de la bijection, fonctions réciproques, fonctions puissances.
En fait dès qu'on a trouvé la 2.a après ça déroule.

2.d) Montrer que \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{\varphi(n)}=x.
On va de nouveau utiliser le théorème des accroissements finis.
On a : |u_{\varphi(n)}-x|=| \cos (f (\varphi(n) ))-x|
Or, \forall x \in [-1,1] \ \cos(t)=\cos ( \arccos(x))=x

Donc |u_{\varphi(n)}-x|=| \cos (f (\varphi(n) ))-\cos(t+2n \pi)|
Une conséquence immédiate du théorème des accroissements finis est que \cos est 1-lipschitzienne.
En effet, \cos '=- \sin est bornée et | \sin '| est majorée par 1.

Ainsi :  |u_{\varphi(n)}-x| \leq | f( \varphi(n) )-(t+2n \pi) | \longrightarrow 0

On a montré : \boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{\varphi(n)}=x}.

2.e) En déduire que l'ensemble des valeurs d'adhérence de (u_n)_{n \in \N^{*}} est [-1,1].

On a construit \varphi : [|n_1,+\infty|[ strictement croissante telle que \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{\varphi(n)}=x.

Posons : \psi : \N \longrightarrow \N tel que \psi(n)=\varphi(n+n_1).

Il est évident que u_{\psi(n)} \longrightarrow x et que \psi est strictement croissante.

On a montré \boxed{Adh (u_n)= [-1,1]}

3) Montrer que l'ensemble des valeurs des suites (\cos(n^{\alpha}))_{n \in \N^{*}} pour 0< \alpha <1 et (\cos( \ln n))_{n \in \N^{*}} est [-1,1]

Il suffit de vérifier que les fonctions x \mapsto \ln x et x \mapsto x^{\alpha} avec 0 < \alpha < 1 vérifient les hypothèses données par l'énoncé.
Ceci est très simple à vérifier :
x \mapsto \ln x est de classe C^1 sur [1,+\infty[
On a : \forall x \in [1,+\infty[ \ f'(x)=\dfrac{1}{x} >0
\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty
On a : \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x)=0

\ln vérifie les hypothèse donc \boxed{Adh( \cos( \ln (n) ))_{n \in \N^{*}} =[-1,1]}

x \mapsto x^{\alpha}=\exp( \alpha \ln x) est de classe C^1 sur [1,+\infty[
On a : \forall x \in [1,+\infty[ \ f'(x)=\alpha x^{\alpha-1} >0
\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty
On a : \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x)=0 car \alpha-1<0.

x^{\alpha} vérifie les hypothèse donc \boxed{Adh( \cos(  n^{\alpha}))_{n \in \N^{*}} =[-1,1]} pour 0 < \alpha <1

Posté par
Rintarore : Valeur d'adhérence de la suite cos( ln n) 18-09-23 à 20:21

Bonsoir,

comme déjà dit sur les deux sites : tes commentaires sont inutiles. C'est un très bon exercice pour des L2 qui viennent de voir la topologie à travers les espaces vectoriels normés. Par ailleurs, je t'en prie, continue d'écrire :

- "c'est immédiat",
- "c'est évident",
- "ceci est très simple".

J'espère que tu sauras être aussi arrogant dans ta copie d'agrégation.
Par ailleurs "j'ai réussi à terminer l'exercice tout seul", mhmh.

Posté par
malou Webmasterre : Valeur d'adhérence de la suite cos( ln n) 18-09-23 à 20:54

Bonsoir,
Maintenant que tu dis avoir fini...
Aucun intérêt à venir poster ce type d'exercice sur notre site.
Ramassis d'idées trouvées sur internet.
Je ne vois pas pourquoi il te faut un public pour écrire ça, tu peux le faire sur ton papier sans nous en faire profiter.
Depuis des années, tu te transformes en être non-pensant, exécutant les idées d'autres personnes et globalement te limitant à mettre en forme leurs propositions de préférence en Ltx encadré.
Tu te permets de plus des commentaires totalement insupportables soit sur des personnes, soit sur des sujets et de leur niveau...Quand on connaît ton propre niveau de connaissances et ce tous niveaux confondus (collège/lycée/supérieur) cela est complètement déplacé.
Je souhaite que notre site soit épargné de tout ça.

Posté par
Ramanujanre : Valeur d'adhérence de la suite cos( ln n) 18-09-23 à 22:06

L'exercice provient du site de l'institut Fourier laboratoire de mathématiques, c'est une fiche d'exercices pour l'agrégation interne.

Si on n'a plus le droit de dire qu'on ne comprend pas une solution donnée par un intervenant, c'est triste. On a pas tous la chance de tout comprendre du premier coup avec une petite indication.

Rintaro
Les livres ou les corrigés disponibles sur internet utilisent souvent ces termes, c'est peut être à force de les avoir vu que je les utilise par réflexe. Ce n'est pas pour me la raconter.

Posté par
ThierryPomare : Valeur d'adhérence de la suite cos( ln n) 18-09-23 à 22:28

@Ramanujan : bonsoir. En tant que professeur titulaire, tu perçois un salaire, chaque fin de mois, versé par la DGFIP. Or, tu passes une bonne partie de ton temps sur ce site, comme sur les-mathematiques.net. Ta priorité devrait être la suivante : tes élèves, pas l'agrégation. Seulement tu t'en moques. J'aimerais être à ta place et me soucier de mes élèves ; je n'ai pas ce grand privilège.

Posté par
Vassilliare : Valeur d'adhérence de la suite cos( ln n) 18-09-23 à 22:40

Mais OShine, tout le monde s'en fiche de tes justifications, si tu ne veux pas t'excuser et changer d'attitude, inutile de répondre.
Tu es terriblement égocentrique, les intervenants te disent que ton attitude les dérange et tu refuses d'en tenir compte alors que c'est toi qui a besoin d'eux, pas le contraire. Non seulement tu te moques des tes élèves comme le dit Thierry Poma mais aussi de toutes les personnes qui t'ont aidé depuis des années.

Elles te demandent :
- d'arrêter de te plaindre donc les propos du genre "vous allez trop vite pour moi" ou "jamais vu un truc aussi compliqué" sont intolérables
- de ne pas poster d'énoncé avec les réponses aux questions que tu crois savoir faire car cela n'intéresse personne et tu trompes si tu penses qu'on va te féliciter.
- d'arrêter d'encadrer tes pseudos résultats qui ne le méritent pas
- d'arrêter de donner ton avis sur des exercices comme si tu étais membre du jury alors que tu n'as même jamais passé l'épreuve
- de te désinscrire pour ne plus porter le pseudo de Ramanujan ce que certains considèrent comme une insulte envers lui (c'est discutable mais cela s'entend)
Je ne peux pas t'obliger à le faire, la modération non plus mais elle a le pouvoir de te bannir si tu refuses donc à ta place, je la jouerai discrète et je tiendrais compte de leurs demandes ou je partirai.

Il y a quand même un problème fondamental à ce genre de fil, à force d'exaspérer tout le monde, beaucoup d'entre nous devenons virulents dans nos propos, même Malou qui est quand même très gentille et très investie dans son travail de modératrice.
Non seulement, cela signifie que cela pèse à beaucoup, mais cela peut aussi donner aux autres étudiants l'impression que les aidants ne sont pas bienveillants (voir la réaction de omarlab05 et jean24).
Est-ce que cela vaut vraiment la peine pour quelqu'un qui ne progressera jamais ? Est-ce que ce ne serait pas mieux de se passer d'une seule personne plutôt que d'installer une mauvaise ambiance qui pourra en faire fuir beaucoup d'autres ?
Je ne suis pas sûre que ce soit le bon endroit pour poser la question, n'hésitez pas à déplacer ou supprimer ce message et je comprends qu'il faut peut-être un manquement à la charte pour sanctionner mais quand même, cela me semble terriblement dommage.

Posté par
malou Webmasterre : Valeur d'adhérence de la suite cos( ln n) 19-09-23 à 07:18

Les dernières interventions de Rintaro, ThierryPoma, Vassillia et moi- même ont tout dit.
Va travailler pour tes élèves.
Je clos le sujet

Posté par
malou Webmasterre : Valeur d'adhérence de la suite cos( ln n) 29-09-23 à 22:08

Oshine là
et à peine désinscrit ici Cosmic Gate là
ce qui ne l'empêche pas d'écrire simultanément aujourd'hui sur le premier
Valeur d\'adhérence de la suite cos( ln n)

Bon, ben dommage pour les élèves...

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