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Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe

Posté par
ChazyChaz 27-09-08 à 19:53

Bonsoir.
J'aimerais de l'aide sur
Donner la forme algébrique de \frac{1+i}{sqrt3+i} et en déduire les valeur de cos(\frac{\pi}{12}) et sin(\frac{\pi}{12})
Pour la forme algébrique, pas de problème, j'ai remarqué qu'en multipliant ce que j'obtiens par sqrt2, je tombe sur exp(i(pi/12))
Merci de l'aide, ca doit être simple, mais la, je séche

Posté par
n6krissre : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 20:14

Bonsoir ChazyChaz,

cos(/12)=(ei/12+e-i/12)/2

sin(/12)=(ei/12-e-i/12)/2i

si tu poses z=(1+i)/(3+i), tu as cos(/12)=(z+conj(z))/2 et sin(/12)=(z-conj(z))/2i

Posté par
ChazyChazre : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 20:27

Tu déduis donc que cos(pi/12) = Re[(1+i)/(sqrt(3)+i)], ce qui est faux! Par calcul, on ne trouve pas ca

Posté par
n6krissre : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 20:29

j'ai oublie le 2, z*2=ei/12
deosole

Posté par
Quent225re : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 20:33

Bonsoir,

z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}=\frac{(1+i)(\sqrt{3}-i)}{4}=\frac{\sqrt{3}+1+i(\sqrt{3}-1)}{4}

Le module de ce nombre complexe est \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}-1}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+2}{8}+\frac{-\sqrt{3}+2}{8}}=\sqrt{\frac{4}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
L'argument de z est \arccos\left(\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4}\right)

Or, \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)=\cos{\frac{\pi}{4}}\left(\sin\frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{12}

Donc, \arccos\left(\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4}\right)=\frac{\pi}{12}
La forme trigonométrique de tout nombre complexe z est z=rcis\varphi

où r est le module et \varphi l'argument.

D'où z=\frac{\sqrt{2}}{2}cis\frac{\pi}{12}

Conclusion...

Posté par
ChazyChazre : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 20:40

Merci bien Quent225, celà me parait juste et clair

Posté par
Quent225re : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 20:42

De rien! ça m'a permit de réviser pour mon contrôle de lundi... tout bénef en somme

Posté par
scrogneugneure : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 22:12

Salut !

Il y a plus simple ...
\\ 1+i=\sqrt{2}exp{i\frac{\pi}{4}} et \sqrt{3}+i=2exp{i\frac{\pi}{6}}

Donc \frac{1+i}{\sqrt{3}+i}=\frac{\sqrt{2}}{2}exp{i\frac{\pi}{12}}

Or, \frac{1+i}{\sqrt{3}+i}=\frac{\sqrt{3}+1}{4}+i\frac{\sqrt{3}-1}{4}

Donc \frac{\sqrt{2}}{2}exp{i\frac{\pi}{12}}=\frac{\sqrt{3}+1}{4}+i\frac{\sqrt{3}-1}{4}

On identifie partie réelle et partie imaginaire pour avoir :

cos(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{3}+1}{4} et sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{3}-1}{4}

Posté par
scrogneugneure : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 22:14

Pardon : cos(\frac{\pi}{12})=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}+1}{4} et sin(\frac{\pi}{12})=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}-1}{4}

Posté par
Quent225re : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 22:15

En effet, c'est un poil plus simple...

Posté par
scrogneugneure : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 22:18

J'ai noté aussi ta démo Quentin ^^

Posté par
ChazyChazre : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 22:58

Merci bien, de multiples moyens de résoudre cet exo, j'irais le corriger au tableau en pensant à vous les gars ^^

Posté par
scrogneugneure : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 23:14

Lol, faut pas te sentir obliger d'aller au tableau ^^

Posté par
jeansebre : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 23:17

Bonsoir

Je trouve la démo de Quentin fort élégante, et celle de scrongneugneu réjouit le coeur. Sérieux!

Posté par
Quent225re : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 23:17

C'est que nos solutions méritent d'être connues de tous...

Posté par
ChazyChazre : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 23:45

Je vais commencer ainsi au tableau " Comme l'on dit les grand sages Quent225 et scrogneugneu, il faut passer sous forme exponentielle ..."

Posté par
jeansebre : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 27-09-08 à 23:57

Vous êtes en Sup, les gars? Si oui, mettez à jour votre niveau dans votre profil...

Posté par
Quent225re : Valeur de cos(pi/12) par un calcul de nombre complexe 28-09-08 à 11:00

Citation :
Je vais commencer ainsi au tableau " Comme l'on dit les grand sages Quent225 et scrogneugneu, il faut passer sous forme exponentielle ..."


Erreur! Moi j'ai dit forme trigonométrique,... nuance

Citation :

Vous êtes en Sup, les gars? Si oui, mettez à jour votre niveau dans votre profil...


Personnellement je ne suis pas en sup... mais en 6e en Belgique (~Term française)


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