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Niveau Licence Maths 1e ann
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Valeur exacte de cos(pi/5)

Posté par
MisterPanda
25-09-14 à 18:37

Bonjour à tous

L'objectif de l'exercice est de calculer la valeur de cos(/ 5 )

Dans une première question, on nous demande de résoudre l'équation z5 + 1 = 0

On trouve donc que z = -1 est une solution et donc en utilisant le schéma de Horner on va trouver

z5 + 1 = (z+1)(z4 -z3 + z2 -z +1)

qui est donc un polynôme de degré 4 à coefficient symétriques donc j'applique une méthode du cours et je trouve 4 solutions complexes.

z1= ((1+racine 5)/ 4) - i/2(racine(5 - racine 5)/2)


z2= ((1+racine 5)/ 4) + i/2(racine(5 - racine 5)/2)


z3= ((1-racine 5)/ 4) - i/2(racine(5 + racine 5)/2)


z4= ((1-racine 5)/ 4) + i/2(racine(5 + racine 5)/2)


Ces solutions ont été vérifiés donc normalement bonnes



Dans une deuxième question on nous demande de calculer à l'aide de la formule de Moivre l'expression de cos(5) en fonction de cos()

J'ai donc :

cos(5) = 16cos5()-20cos3()+5cos()


Et c'est la ou je bloque, je ne vois pas vraiment comment m'en sortir, j'ai aussi essayé de poser
=/5 pour avoir cos() à gauche mais je n'avance pas plus après.


Merci d'avance à ceux qui pourront me donner au moins une petite piste

Posté par
eddy01
re : Valeur exacte de cos(pi/5) 25-09-14 à 19:11

Bonjour,

Pour moi tu as répondu à la question, tu as bien l'expression de cos(5) en fonction de cos() !

Posté par
MisterPanda
re : Valeur exacte de cos(pi/5) 25-09-14 à 19:36

Oui mais je ne vois pas comment trouver la valeur exacte de cos(/5) avec ce que j'ai à ma disposition

Posté par
eddy01
re : Valeur exacte de cos(pi/5) 25-09-14 à 20:31

Dévellopes (x+1)(4*x² -2*x - 1)²

Posté par
MisterPanda
re : Valeur exacte de cos(pi/5) 25-09-14 à 20:53

Ah d'accord bah en développant je tombe sur 16x5 - 20 x3 + 5x + 1 = 0

ce qui reviens à poser = / 5 et cos= x

Mais du coup la valeur de cos /5 c'est une des racines de (4*x² -2*x - 1) donc (1+racine5)/4

Tu me conseillerais de le justifier comment ?

Et pour le polynome que tu m'as dis de developper tu l'as trouvé comment ?

(Désolé si ça me prend du temps mais je préfère comprendre tout le raisonnement)

Posté par
eddy01
re : Valeur exacte de cos(pi/5) 25-09-14 à 21:24

Si tu pose =k*/5  avec k impair et cos=x tu obtiens 16x5-203+5x+1=0
-1 est solution évidente donc 16x5-203+5x+1=(x+1)Q(x) avec Q un polynome de degré 4 . On trouve facilement par identification des coefficients que Q(x)=16x4-16x3-4x²+4x+1 =(4x²)²-2*4x²*(2x+1)+(2x+1)²  D'où la factorisation.

Pour ce qui est de la justification, En prenant k=1 tu obtiens que cos(/5) marche et comme cos(/5)+10 , on a Q(cos(/5))=0 .Tu calcules donc les racine de Q, tu as normalement 2 solutions, 1 positive et 1 négative. Or cos(/5) est positive, d'où le résultat.

Posté par
MisterPanda
re : Valeur exacte de cos(pi/5) 25-09-14 à 21:26

D'accord

Je te remercie infiniment et bonne continuation à toi

Posté par
eddy01
re : Valeur exacte de cos(pi/5) 25-09-14 à 21:33

Je t'en prie



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