Bonjour, je bloque à la dernière question de l'exercice suivant :
Identifions à munit de sa topologie usuelle. Etant donné z, cet exercice a pour objet la determination de l'ensemble A des valeurs d'adhérences de la suite zn dans .
(a) Supposons que |z|<1. Montrer qu'alors A={0}
(b) Supposons que |z|>1. Montrer qu'alors A=
(c) Supposons que z=1. Montrer qu'alors A={1}.
(d*) Supposons que z=ei2 avec * (p*, q* premiers entre eux).
Montrer qu'alors A={zn|0n<q}.
(e**) Supposons que z=ei2 avec . Montrer qu'alors A={z | |z|=1}.
Pour la (a) zn converge donc zn tend vers 0 (sinon on aurait une divergence grossière) donc c'est l'unique valeur d'adhérence de la suite (ça doit pas être le plus simple mais je crois que ça marche)
Pour la b), |z|n tend vers l'infini, or si zn a une valeur d'adhérence |z|n en a une aussi donc par contraposée zn n'a pas de valeur d'adhérence.
Pour la c), si z=1, 1n tend vers 1 donc c'est la seule valeur d'adhérence de la suite.
Pour la d*), zn prend un nombre fini de valeurs (zq=z et on retombe sur nos précédentes valeurs) et toutes ces valeurs sont prises un nombre infini de fois donc ce sont les valeurs d'adhérences : d'où le résultat demandé
Pour la e**) j'ai juste l'inclusion directe, soit aA, il existe z tq zn tend vers a, or pour tout n, zn {z| |z|=1} qui est fermé parce que c'est S |.|(0,1) donc la limite de zn est de module 1. Mais je n'ai pas la réciproque.
Merci d'avance pour votre aide.
Alors je suis passé par cette piste (mais il doit me manquer des éléments) :
j'ai dit que notre problème revenait à montrer que :
.
Soit donc :
donc il faut soit trouver la suite extraite de zn qui tend vers a, soit en fixant r>0 trouver un complexe qui soit dans B(a,r) et dans (autre définition de l'adhérence en montrant que l'intersection est non vide). Mais dans les deux cas j'ai bloqué : la piste dans laquelle j'ai le plus cherché est la deuxième en essayant de montrer que la boule est incluse dans
et je pense qu'il y a encore des erreurs :
Salut !
carpediem, l'expression avec est sujette à débat dès lors que b n'est plus un entier.
On aurait par exemple ... pourquoi pas !
Pour ce qui est de l'énoncé je l'ai recopié tel quel, je viens de vérifier, il y est bien écrit ce qui est dans la citation ci-dessus
L'énoncé ne semble pas contenir d'erreur (a priori).
Pour revenir à l'exercice, je donne deux pistes possibles, à toi de voir celle qui te tente le plus (selon ce que vous avez vu en cours j'imagine) :
1) Je pense que c'est ce à quoi pensait jarod128 :
.
Que peux-tu dire de l'adhérence de avec ?
2) Notons . Soit . On considère tel que .
Que peux-tu dire de la distance minimale entre deux termes de l'ensemble
Je dirais que + est fermé dans parce que c'est une réunion de points isolés donc le complémentaire est une réunion d'ouverts (donc un ouvert). Donc + est sa propore adhérence. (pour la piste 1), car pour la 2) j'arrive pas à intuiter quoi que ce soit)
L'ensemble est une réunion de points isolés, mais n'est pas un fermé.
De plus, n'est pas une réunion de points isolés.
Est-ce que tu as tenté d'autres approches ? Que ce soit pour la piste 1 ou 2
toujours pour la piste 1 je dirais donc que tout a + est limite d'une suite de + donc cos(2a) + i sin (2a) est une valeur d'adhérence mais ... j'ai l'impression que ça me fait retomber sur l'inclusion que j'ai déjà
Pour la piste 1, l'idée est plutôt de dire :
on prend un angle , et on veut l'approcher (modulo ) par un élément de
Je crois que j'ai compris ce que je cherche à montrer : je cherche à montrer que la densité de + c'est tout entier comme ça on aurait que tout ei2 pour être approché par une suite extraite de zn et (quand décrit , ei2 décrit S |.| (0,1)) mais je ne vois pas comment raisonner sur l'adhérence de +
Je vais commencer à donner des indications un peu plus précises
Que sais-tu sur les sous-groupes additifs de ?
Je ne me rappelle pas avoir étudié le cas particulier des sous-groupes additifs de , je dirais qu'intuitivement le groupe est forcément infini (sinon il y a un problème de stablilité (à moins que ce soit {0}))
Tu as le résultat (classique) suivant :
Les sous-groupes de sont de la forme avec réel, ou denses dans .
Je te propose un énoncé pour le démontrer :
Soit un sous-groupe de distinct de . On note .
i) Montrer que est bien défini et
ii) Supposons , montrer que
iii) Supposons , montrer que est dense dans
Pour la i)
G{0} donc
gG tq g0,
Si g>0;
gG+* donc l'ensemble est non vide minoré (par 0 par exmple) donc il admet une borne inférieure
Si g<0,
-g>0 (par stabilité du passage au symétrique) donc G+* est à nouveau non vide et minoré donc il admet à nouveau une borne inférieure
Pour la ii) j'ai essayé d'utiliser le même raisonnement que pour montrer que les sous-groupes de (,+) sont les n sauf que c est un inf et non un min donc on a pas l'inclusion réciproque par stabilité. J'ai cherché un peu pour trouver un autre raisonnement et j'ai l'impression de ne pas avoir assez d'hypothèses (pareil pour iii))
Ok pour la i).
Pour la ii), suppose . Que peux-tu dire de ?
Il restera encore l'autre inclusion.
Pour la iii), donc tu as des éléments de arbitrairement proches de .
Donc si tu fixes , est-ce que tu vois comment avoir des éléments de arbitrairement proches de ?
pour la ii),
On suppose que
(sinon on aurait,
absurde car la phrase quantifiée est fausse pour )
et pour la iii) j'ai intuité (astuce normalement courante en topologie lorsqu'on veut approcher arbitrairement des éléments) mais je ne sais pas comment montrer que ça appartient bien à G
Pour la ii), tu n'as pas terminé. Tu as montré que si , alors . Maintenant, que fais-tu avec ce pour aboutir à une contradiction ? Et comment fais-tu l'inclusion réciproque ?
Pour la iii), ce n'a pas de raison d'appartenir à .
Tu veux montrer qu'un ensemble de la forme n'est jamais vide, ce qui est nettement moins que de dire qu'il contient un élément de la forme
Donc essaye plutôt de l'écrire avec des
je crois que j'ai trouvé :
pour la ii)
mais,
donc
( (par définition de la borne inférieure))
(car c'est le symétrique de et G est un groupe)
donc
et Absurde !
Donc
donc (stabilité par +)
donc
Soit maintenant , on réalise sa division euclidienne par c :
si
(par stabilité par +)
donc (stabilité par + et passage à l'inverse)
et Absurde ! donc
donc
donc
et pour la iii),
Soit
Soit
On considère , d'après la stabilité par + :
or
alors que
donc
c'est vrai pour tout ,
donc
tout voisinage de x intersecte G
donc
Pour la ii), ton raisonnement fonctionne, mais l'idée était d'utiliser comme tu as utilisé ton . En particulier, pas besoin d'introduire de , le était déjà là pour ça
Et les démonstrations de l'inclusion réciproque et de iii) sont correctes.
Maintenant que tu sais ça, on revient à l'exercice initial.
On cherche à montrer que l'adhérence de contient un intervalle de la forme .
Est-ce que tu as de nouvelles idées ?
J'ai pensé à montrer que + est un sous-groupe de (pour que la caractérisation des sous-groupes de (,+) serve) mais je n'arrive pas à montrer la stabilité pour le passage à l'inverse
Si t \ , + t. n'est pas un sous groupe de .
C'est + t. qui en est un . Et il est dense dans .
Mais il me semble que Luzac avait pondu (sur l'île ) il y a un certain temps un truc concernant la densité de + t. .
Et t+ () c'est un sous-groupe de ? Parce que j'ai cru comprendre que ça m'arrangerait de pouvoir montrer ça.
Ce n'est pas un sous-groupe de .
L'idée est de commencer par regarder , pour ensuite en déduire des propriétés sur l'adhérence de
-> 0 = x 0 + 0
-> Soit
->
Donc c'est un sous-groupe de (,+)
et en supposant par l'absurde que c'est de la forme c:
donc,
or,
donc Absurde !
donc est dense dans (je n'ai fait que démontrer ce que m'a soufflé etniopal parce que ce n'est pas encore dans mon cours) mais je ne vois pas comment en tirer des conclusions sur pour obtenir ce qu'on veut
Pour montrer que ce n'est pas de la forme il y a des erreurs.
L'irrationnalité de doit intervenir.
Regarde plutôt ce qu'il se passe lorsque tu écris que et sont dans
Ah j'ai, si et 1 sont dans c
, donc
Absurde ! (parce que c'est irrationnel)
Mais du coup je n'ai pas trouvé plus de pistes concernant
Personnellement, j'obtiens (à moins qu'il n'y ait une hypothèse sur le signe de ).
Je ne sais pas si tu passes à côté ou si les arguments te semblent si triviaux que tu n'en parles même pas.
Dans le doute je détaille les arguments qui ne me semblent pas triviaux :
et
Donc
Donc .
Or irrationnel, donc et .
Donc et .
Donc .
Bref, on a donc que est dense dans .
Je te donne le résultat qu'on va montrer : est dense dans .
L'idée est de commencer par approcher 0.
Puis, pour un donné, on écrit .
On voit qu'il suffit d'approcher (où est la partie entière).
Je te donne une indication :
Pour , montrer .
Je crois que j'ai compris ce qu'il faut faire (en même temps tout était déjà un peu dit), mais je n'arrive pas à le mettre en place :
D'après ce que j'ai compris, pour 0 dans un premier temps :
si on a gagné et sinon,
on trouve et on enlève (valeur du ) à pour approcher notre 0. Ensuite on applique un raisonnement analogue à tous les . Le problème c'est que pour que je puisse dire que ça marche, il me faut être capable d'expliciter un minimum le k quand j'en ai besoin.
J'ai l'impression que tu as compris mon indication de travers.
Les étapes auxquelles je pensais sont les suivantes :
Soient et
i)
ii) On a donc on peut approcher à près, donc à près (regarder la distance entre les termes de la suite )
iii) conclure
Du coup je crois que j'avais bien compris l'indication : j'avais compris (à raison j'espère) que si j'avais la i) c'était quasiment fini mais mon raisonnement n'aboutit pas.
En supposant i), soit :
avec (par stabilité)
donc on a approché x et on a la densité (si je n'ai pas fait d'erreurs, j'ai peut-être été un peu vite)
En fait, ton n'est pas ton , c'est-à-dire ton erreur d'approximation.
Supposons i).
On a et , donc .
Donc que peux-tu dire du réel ?
Tu peux prendre assez petit, mais ça ne te donne pas d'élément qui permette de conclure.
Ou en tout cas il faudrait détailler la ligne .
Cela dit, si je reprends mon , on a :
Et cela vient de .
Et ce permet de conclure, sinon je ne vois pas comment tu as fait.
D'une certaine manière, si tu remplaces par , tu perds toute l'information qui dit que est proche de .
pour moi j'avais
et en fait je crois que je vois mon erreur :
je me disais que mais ... pas forcément en fait
sinon pour ce qu'il y a au dessus :
mais je ne vois pas comment ça nous donne que (c'est qui je n'arrive pas à comprendre)
Le que j'ai mis vérifie une condition particulière.
Les explications algébriques sont dessous, mais commence par faire un dessin :
Place x et E(x). Observe la distance x - E(x).
Tu sais que , donc est atteignable par , maintenant, il faut encore atteindre à près.
En admettant i), tu sais qu'il existe qui va te donner , donc sur le dessin, tu vois qu'il faudrait encore ajouter des .
En plaçant des successivement, en partant de , tu vois qu'au bout d'un moment tu vas atteindre , à près en tout cas.
Cela s'écrit formellement : .
Pour montrer , tu montres les deux inégalités :
C'est la dernière ligne que j'avais pas (et qui m'aide à comprendre tout).
Du coup maintenant que j'ai compris ii) en supposant i) que je pensais avoir compris, il faut s'attaquer à i) (qu'on a pas montré pour le moment)
@superjuju45
stp est ce que t as pu trouver la solution
si tu peux me contactee sur mon email******mail supprimé***** merci beaucoup
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