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Valeurs d'adhérences

Posté par
superjuju45
31-10-20 à 21:01

Bonjour, je bloque à la dernière question de l'exercice suivant :

Identifions à munit de sa topologie usuelle. Etant donné z, cet exercice a pour objet la determination de l'ensemble A des valeurs d'adhérences de la suite zn dans .
(a) Supposons que |z|<1. Montrer qu'alors A={0}
(b) Supposons que |z|>1. Montrer qu'alors A=
(c) Supposons que z=1. Montrer qu'alors A={1}.
(d*) Supposons que z=ei2 avec \theta =\frac{p}{q}* (p*, q* premiers entre eux).
Montrer qu'alors A={zn|0n<q}.
(e**) Supposons que z=ei2 avec \theta \in R \backslash Q. Montrer qu'alors A={z | |z|=1}.

Pour la (a) zn converge donc zn tend vers 0 (sinon on aurait une divergence grossière) donc c'est l'unique valeur d'adhérence de la suite (ça doit pas être le plus simple mais je crois que ça marche)

Pour la b), |z|n tend vers l'infini, or si zn a une valeur d'adhérence |z|n en a une aussi donc par contraposée zn n'a pas de valeur d'adhérence.

Pour la c), si z=1, 1n tend vers 1 donc c'est la seule valeur d'adhérence de la suite.

Pour la d*),  zn prend un nombre fini de valeurs (zq=z et on retombe sur nos précédentes valeurs) et toutes ces valeurs sont prises un nombre infini de fois donc ce sont les valeurs d'adhérences : d'où le résultat demandé

Pour la e**) j'ai juste l'inclusion directe, soit aA, il existe z tq zn tend vers a, or pour tout n, zn {z| |z|=1} qui est fermé parce que c'est S |.|(0,1) donc la limite de zn est de module 1. Mais je n'ai pas la réciproque.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
jarod128
re : Valeurs d'adhérences 31-10-20 à 21:21

Bonsoir,
Avec un argument de densité...

Posté par
carpediem
re : Valeurs d'adhérences 31-10-20 à 22:08

salut

que veut dire

superjuju45 @ 31-10-2020 à 21:01

Identifions à munit de sa topologie usuelle.

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 31-10-20 à 22:09

Alors je suis passé par cette piste (mais il doit me manquer des éléments) :

j'ai dit que notre problème revenait à montrer que :

\bar{\begin{Bmatrix} z^n /n\in N \end{Bmatrix}}\supset \begin{Bmatrix} z/ |z|=1 \end{Bmatrix}.

Soit donc : a\in \begin{Bmatrix} z/ |z|=1 \end{Bmatrix}

donc il faut soit trouver la suite extraite de zn qui tend vers a, soit en fixant r>0 trouver un complexe qui soit dans B(a,r) et dans  \begin{Bmatrix} z/ |z|=1 \end{Bmatrix} (autre définition de l'adhérence en montrant que l'intersection est non vide). Mais dans les deux cas j'ai bloqué : la piste dans laquelle j'ai le plus cherché est la deuxième en essayant de montrer que la boule est incluse dans \begin{Bmatrix} z/ |z|=1 \end{Bmatrix}

Posté par
carpediem
re : Valeurs d'adhérences 31-10-20 à 22:14

et je pense qu'il y a encore des erreurs :

superjuju45 @ 31-10-2020 à 21:01


(d*) Supposons que z=ei2 \red = (e^{i 2\pi})^t = 1^t
(e**) Supposons que z=ei2 idem

Posté par
jsvdb
re : Valeurs d'adhérences 31-10-20 à 22:48

Salut !
carpediem, l'expression e^{ab}=(e^a)^b avec a,b \in \C est sujette à débat dès lors que b n'est plus un entier.
On aurait par exemple i = e^{i\frac{\pi}{2}} = e^{\frac{2i\pi}{4}}=(e^{2i\pi})^{1/4}=1 ... pourquoi pas !

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 31-10-20 à 22:57

Pour ce qui est de l'énoncé je l'ai recopié tel quel, je viens de vérifier, il y est bien écrit ce qui est dans la citation ci-dessus

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 31-10-20 à 22:59

L'énoncé ne semble pas contenir d'erreur (a priori).
Pour revenir à l'exercice, je donne deux pistes possibles, à toi de voir celle qui te tente le plus (selon ce que vous avez vu en cours j'imagine) :

1) Je pense que c'est ce à quoi pensait jarod128 :
\{ z^n \hspace{0.2em} | \hspace{0.2em} n \in \mathbb{N} \} = \{\cos(2 \pi n \theta) + i\sin(2 \pi n \theta) \hspace{0.2em} | \hspace{0.2em} n \in \mathbb{N}\} = \{ \cos(2 \pi (n \theta + k)) + i\sin(2\pi(n \theta + k)) \hspace{0.2em} | \hspace{0.2em} n \in \mathbb{N}, k\in \mathbb{Z} \}.

Que peux-tu dire de l'adhérence de \theta \mathbb{N} + \mathbb{Z} avec \theta \notin \mathbb{Q} ?



2) Notons a = e^{2i \pi \varphi}. Soit \forall \varepsilon > 0. On considère N \in \mathbb{N} tel que \frac1N < \varepsilon.
Que peux-tu dire de la distance minimale entre deux termes de l'ensemble \{ z^n \hspace{0.2em} | \hspace{0.2em} n \in [| 0 ; N |] \}

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 13:20

Je dirais que + est fermé dans parce que c'est une réunion de points isolés donc le complémentaire est une réunion d'ouverts (donc un ouvert). Donc + est sa propore adhérence. (pour la piste 1), car pour la 2) j'arrive pas à intuiter quoi que ce soit)

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 13:51

L'ensemble \{ \frac1n \hspace{0.2em} | \hspace{0.2em} n \in \mathbb{N}^* \} est une réunion de points isolés, mais n'est pas un fermé.
De plus, \theta \mathbb{N} + \mathbb{Z} n'est pas une réunion de points isolés.

Est-ce que tu as tenté d'autres approches ?  Que ce soit pour la piste 1 ou 2

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 13:51

toujours pour la piste 1 je dirais donc que tout a + est limite d'une suite de + donc cos(2a) + i sin (2a) est une valeur d'adhérence mais ... j'ai l'impression que ça me fait retomber sur l'inclusion que j'ai déjà

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 13:53

Pour la piste 1, l'idée est plutôt de dire :
on prend un angle \varphi \in \mathbb{R}, et on veut l'approcher (modulo 2 \pi) par un élément de \theta \mathbb{N} + \mathbb{Z}

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 14:35

Je crois que j'ai compris ce que je cherche à montrer : je cherche à montrer que la densité de + c'est tout entier comme ça on aurait que tout ei2 pour être approché par une suite extraite de zn et S_{|.|}(0,1) \subset A (quand décrit , ei2 décrit S |.| (0,1)) mais je ne vois pas comment raisonner sur l'adhérence de +

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 14:36

*pourrait être approché ...

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 14:47

Pas forcément \mathbb{R} tout entier, mais au moins contenir un intervalle de la forme [x ; x + 2\pi[

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 15:03

Je vais commencer à donner des indications un peu plus précises
Que sais-tu sur les sous-groupes additifs de \mathbb{R} ?

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 15:23

Je ne me rappelle pas avoir étudié le cas particulier des sous-groupes additifs de , je dirais qu'intuitivement le groupe est forcément infini (sinon il y a un problème de stablilité (à moins que ce soit {0}))

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 15:32

Tu as le résultat (classique) suivant :

Les sous-groupes de (\mathbb{R}, +) sont de la forme a \mathbb{Z} avec a réel, ou denses dans \mathbb{R}.

Je te propose un énoncé pour le démontrer :

Soit G un sous-groupe de (\mathbb{R}, +) distinct de \{ 0 \}. On note c = \inf (G \cap \mathbb{R}_+^*).
i) Montrer que c est bien défini et c \geq 0
ii) Supposons c > 0, montrer que G = c \mathbb{Z}
iii) Supposons c = 0, montrer que G est dense dans \mathbb{R}

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 16:24

Pour la i)

G{0} donc
gG tq g0,
Si g>0;
gG+* donc l'ensemble est non vide minoré (par 0 par exmple) donc il admet une borne inférieure

Si g<0,
-g>0 (par stabilité du passage au symétrique) donc G+* est à nouveau non vide et minoré donc il admet à nouveau une borne inférieure

Pour la ii) j'ai essayé d'utiliser le même raisonnement que pour montrer que les sous-groupes de (,+)  sont les n sauf que c est un inf et non un min donc on a pas l'inclusion réciproque par stabilité. J'ai cherché un peu pour trouver un autre raisonnement et j'ai l'impression de ne pas avoir assez d'hypothèses (pareil pour iii))

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 16:40

ah oui et j'ai oublié si c=inf G+* alors
c\in \bar{G\bigcap_{}^{}{}R_+^*} or
\bar{G\bigcap R_+^*} \subset \bar{R_+^*} donc,
c\in \bar{R_+^*}
c\in +\propto
donc c0

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 16:40

Ok pour la i).

Pour la ii), suppose c \notin G. Que peux-tu dire de G \cap ] c ; 2c[ ?
Il restera encore l'autre inclusion.

Pour la iii),  c=0 donc tu as des éléments de G \cap \mathbb{R}_+^* arbitrairement proches de 0.
Donc si tu fixes x \in \mathbb{R}, est-ce que tu vois comment avoir des éléments de G arbitrairement proches de x ?

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 16:54

*c\in \bar{R_+^*}
c\in [0; +\propto]
donc c0

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 17:33

pour la ii),

On suppose que c\notin G
G\cap ]c;2c[\ne \emptyset
(sinon on aurait,
\forall \varepsilon>0, \exists x \in G \cap R_+^*, |x-c|<\varepsilon

absurde car la phrase quantifiée est fausse pour \varepsilon = \frac{c}{2})

et pour la iii) j'ai intuité g=x+\frac{1}{n} (astuce normalement courante en topologie lorsqu'on veut approcher arbitrairement des éléments) mais je ne sais pas comment montrer que ça appartient bien à G

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 17:46

Pour la ii), tu n'as pas terminé. Tu as montré que si c \notin G, alors \exists b \in G \cap ]c ; 2c[. Maintenant, que fais-tu avec ce b pour aboutir à une contradiction ? Et comment fais-tu l'inclusion réciproque ?

Pour la iii), ce x+\frac1n n'a pas de raison d'appartenir à G.
Tu veux montrer qu'un ensemble de la forme ]x - \varepsilon ; x + \varepsilon [ \cap G n'est jamais vide, ce qui est nettement moins que de dire qu'il contient un élément de la forme x + \frac1n
Donc essaye plutôt de l'écrire avec des \varepsilon

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 18:49

je crois que j'ai trouvé :

pour la ii)
\exists b \in G\cap ]c;2c[ mais,
b>c=inf(G\cap R_+^*)
donc \exists b_2<b : b_2\in G\cap ]c;b_2[
(b_2>c (par définition de la borne inférieure))
-b_2 \in G (car c'est le symétrique de b_2 et G est un groupe)
donc b+(-b_2)\in G
b+(-b_2)\in G\cap R_+^*
et g<c Absurde !
Donc c\in G
donc \forall k \in Z, ck\in G (stabilité par +)
donc \begin{Bmatrix} ck| k\in Z \end{Bmatrix} \subset G
cZ \subset G

Soit maintenant x\in G, on réalise sa division euclidienne par c :
\exists r \in [0;c[ \; tq \; x=cq+r

si r\ne 0
r=x-cq
x\in G \; et \; cq\in G (par stabilité par +)
donc r\in G\cap R_+^* (stabilité par + et passage à l'inverse)
et r<c=inf(G\cap R_+^*) Absurde ! donc r=0
donc x=cq \; et \; x\in cZ

donc cZ=G

et pour la iii),

Soit \varepsilon>0
\exists g \in G\cap R_+^* : |g-c|<\varepsilon
g<\varepsilon
Soit x\in R_+^*
On considère I=]x-\varepsilon ; x+\varepsilon[, d'après la stabilité par + :
(ng)_{n\inN} \in G^N
or x+\varepsilon -(x-\varepsilon)=2\varepsilon
alors que \forall n \in N, (n+1)g-ng=g<\varepsilon
donc \exists i \in N : ig \in I
I\cap G \ne \emptyset
c'est vrai pour tout \varepsilon,

donc \forall x \in R_+^*
tout voisinage de x intersecte G
donc R\subset \bar{G}

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 19:03

Pour la ii), ton raisonnement fonctionne, mais l'idée était d'utiliser 2c comme tu as utilisé ton b. En particulier, pas besoin d'introduire de b_2, le b était déjà là pour ça
Et les démonstrations de l'inclusion réciproque et de iii) sont correctes.


Maintenant que tu sais ça, on revient à l'exercice initial.

On cherche à montrer que l'adhérence de \theta \mathbb{N} + \mathbb{Z} contient un intervalle de la forme [x ; x + 2\pi[.

Est-ce que tu as de nouvelles idées ?

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 19:15

de la forme [x ; x+1 [ pardon
Puisqu'on a déjà le 2 \pi dans z = e^{2i \pi \theta}

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 20:00

J'ai pensé à montrer que + est un sous-groupe de (pour que la caractérisation des sous-groupes de (,+) serve) mais je n'arrive pas à montrer la stabilité pour le passage à l'inverse

Posté par
etniopal
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 20:15

    Si t    \   ,   + t. n'est pas un sous groupe  de   .
C'est + t. qui en est un . Et  il est dense dans .
    Mais il me semble que Luzac avait pondu  (sur l'île ) il y a un certain temps  un truc concernant la densité de       + t.  .

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 20:26

Et t+ (t\in R\backslash Q) c'est un sous-groupe de ? Parce que j'ai cru comprendre que ça m'arrangerait de pouvoir montrer ça.

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 20:32

Ce n'est pas un sous-groupe de (\mathbb{R}, +).

L'idée est de commencer par regarder \theta \mathbb{Z} + \mathbb{Z}, pour ensuite en déduire des propriétés sur l'adhérence de \theta \mathbb{N} + \mathbb{Z}

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 21:01

-> 0 = x 0 + 0
-> Soit (i,j) \in Z²
\theta i+k + \theta j +k' = \theta (i+j) +(k+k') \in \theta Z + Z
-> -(\theta i +k) = \theta (-i) + (-k) \in \theta Z +Z

Donc c'est un sous-groupe de (,+)

et en supposant par l'absurde que c'est de la forme c:
\exists c \in (\theta Z + Z) \cap R_+^* : \theta Z + Z = cZ
\begin{Bmatrix} n \theta | n \in Z \end{Bmatrix} \subset cZ donc,
c = \theta or,
\theta + 1 \in \theta Z + Z \backslash cZ donc Absurde !
donc \theta Z + Z est dense dans (je n'ai fait que démontrer ce que m'a soufflé etniopal parce que ce n'est pas encore dans mon cours) mais je ne vois pas comment en tirer des conclusions sur \theta N + Z pour obtenir ce qu'on veut

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 21:08

Pour montrer que ce n'est pas de la forme c \mathbb{Z} il y a des erreurs.
L'irrationnalité de \theta doit intervenir.
Regarde plutôt ce qu'il se passe lorsque tu écris que \theta et 1 sont dans c \mathbb{Z}

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 21:21

Ah j'ai, si et 1 sont dans c
\exixts k \in N : 1=ck=\theta k, donc
\theta = 1/k Absurde ! (parce que c'est irrationnel)

Mais du coup je n'ai pas trouvé plus de pistes concernant \theta N + Z

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 21:23

Je ne suis pas sûr d'avoir suivi, tu peux détailler le \theta = c ?

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 21:39

je dirais pour les mêmes raisons que citées au dessus :

\begin{Bmatrix} n\theta | n \in N \end{Bmatrix} =\theta + 0 \subset cZ = \theta Z + Z

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 21:55

Personnellement, j'obtiens \theta = \pm c (à moins qu'il n'y ait une hypothèse sur le signe de \theta).
Je ne sais pas si tu passes à côté ou si les arguments te semblent si triviaux que tu n'en parles même pas.
Dans le doute je détaille les arguments qui ne me semblent pas triviaux :
\exists k, p ,j \in \mathbb{Z}, \theta = k . c et c = \theta p + j
Donc \theta = k c = k(\theta p + j)
Donc \theta (1 - kp) = kj.
Or \theta irrationnel, donc kp = 1 et kj = 0.
Donc j= 0 et k = p = \pm 1.
Donc \theta = k c = \pm c.

Bref, on a donc que \theta \mathbb{Z} + \mathbb{Z} est dense dans \mathbb{R}.

Je te donne le résultat qu'on va montrer : \theta \mathbb{N} + \mathbb{Z} est dense dans \mathbb{R}.
L'idée est de commencer par approcher 0.
Puis, pour un x donné, on écrit x = E(x) + (x - E(x)).
On voit qu'il suffit d'approcher x - E(x) (où E est la partie entière).

Je te donne une indication :
Pour \varepsilon > 0, montrer ] 0 ; \varepsilon[ \cap (\theta \mathbb{N} + \mathbb{Z}) \neq \emptyset.

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 22:31

Je crois que j'ai compris ce qu'il faut faire (en même temps tout était déjà un peu dit), mais je n'arrive pas à le mettre en place :

D'après ce que j'ai compris, pour 0 dans un premier temps :

si \theta - E(\theta) \in ]0;\varepsilon[ on a gagné et sinon,
on trouve k \; tq \; k\theta - E(k\theta)\in ]0 ; \varepsilon[ et on enlève E(k\theta) (valeur du k \in Z) à k\theta pour approcher notre 0. Ensuite on applique un raisonnement analogue à tous les x\in R. Le problème c'est que pour que je puisse dire que ça marche, il me faut être capable d'expliciter un minimum le k quand j'en ai besoin.

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 22:39

J'ai l'impression que tu as compris mon indication de travers.
Les étapes auxquelles je pensais sont les suivantes :
Soient x \in \mathbb{R} et \varepsilon > 0

i) \exists y \in ] 0 ; \varepsilon[ \cap (\theta \mathbb{N} + \mathbb{Z})

ii) On a y > 0 donc on peut approcher x - E(x) \geq 0 à y près, donc à \varepsilon près (regarder la distance entre les termes de la suite (l \times y)_{l \in \mathbb{N}})

iii) conclure

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 22:54

Du coup je crois que j'avais bien compris l'indication : j'avais compris (à raison j'espère) que si j'avais la i) c'était quasiment fini mais mon raisonnement n'aboutit pas.

En supposant i), soit x \in R :
\exists y \in ]0 ; x-E(x)[\cap (\theta N + Z)
x-(y + E(x))<\varepsilon avec y+E(x)\in (\theta N + Z) (par stabilité)
donc on a approché x et on a la densité (si je n'ai pas fait d'erreurs, j'ai peut-être été un peu vite)

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 22:58

En fait, ton x - E(x) n'est pas ton \varepsilon, c'est-à-dire ton erreur d'approximation.
Supposons i).
On a x - E(x) \geq 0 et y > 0, donc \exists l \in \mathbb{N}, ly \leq x - E(x) \leq (l+1)y.
Donc que peux-tu dire du réel y' := E(x) + (l+1)y ?

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 23:08

On a pas le droit de dire qu'on a fixé un \varepsilon assez petit pour que
\varepsilon \le x-E(x) ?

Sinon je dirais que y'=E(x) + (l+1)y \in \theta N + Z

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 23:16

Tu peux prendre \varepsilon assez petit, mais ça ne te donne pas d'élément y' qui permette de conclure.
Ou en tout cas il faudrait détailler la ligne x - (y + E(x)) < \varepsilon.

Cela dit, si je reprends mon y', on a :

y' \in [x ; x + \varepsilon [ \cap (\theta \mathbb{N} + \mathbb{Z})

Et cela vient de 0 < y < \varepsilon.
Et ce y' permet de conclure, sinon je ne vois pas comment tu as fait.

D'une certaine manière, si tu remplaces \varepsilon par x - E(x), tu perds toute l'information qui dit que y est proche de 0.

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 23:36

pour moi j'avais x-(y+E(x))=E(x)+(x-E(x))-(y+E(x))
=x-E(x)-y et en fait je crois que je vois mon erreur :
je me disais que 0<y<\varepsilon<x-E(x)\Rightarrow x-E(x)-y<\varepsilon mais ... pas forcément en fait
sinon pour ce qu'il y a au dessus :
0<y<\varepsilon \Rightarrow y'<E(x)+ (l+1)\varepsilon mais je ne vois pas comment ça nous donne que y' \in [x ; x+\varepsilon[ (c'est y'< x+\varepsilon qui je n'arrive pas à comprendre)

Posté par
Maru0
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 23:46

Le l que j'ai mis vérifie une condition particulière.
Les explications algébriques sont dessous, mais commence par faire un dessin :
Place x et E(x). Observe la distance x - E(x).
Tu sais que E(x) \in \mathbb{Z}, donc est atteignable par \theta \mathbb{N} + \mathbb{Z}, maintenant, il faut encore atteindre x à \varepsilon près.
En admettant i), tu sais qu'il existe y qui va te donner E(x) + y \in ] E(x) ; E(x) + \varepsilon [ , donc sur le dessin, tu vois qu'il faudrait encore ajouter des y.

En plaçant des y successivement, en partant de E(x), tu vois qu'au bout d'un moment tu vas atteindre x, à y près en tout cas.

Cela s'écrit formellement : \exists l \in \mathbb{N}, l y \leq x - E(x) \leq (l+1) y.

Pour montrer y' \in [ x ; x + \varepsilon[ , tu montres les deux inégalités :

y' = E(x) + (l+1)y \geq E(x) + [x - E(x)] = x

y' = E(x) + (l+1)y = E(x) + ly + y \leq E(x) + [x - E(x)] + y = x + y < x + \varepsilon

Posté par
superjuju45
re : Valeurs d'adhérences 01-11-20 à 23:56

C'est la dernière ligne que j'avais pas (et qui m'aide à comprendre tout).
Du coup maintenant que j'ai compris ii) en supposant i) que je pensais avoir compris, il faut s'attaquer à i) (qu'on a pas montré pour le moment)

Posté par
Imaane123
re : Valeurs d'adhérences 19-11-21 à 22:11

@superjuju45

stp est ce que t as pu trouver la solution
si tu peux me contactee sur mon email******mail supprimé***** merci beaucoup

Posté par
malou Webmaster
re : Valeurs d'adhérences 20-11-21 à 08:36

Bonjour

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q07 - Puis-je mettre mon adresse mail dans mon message afin d'inviter les visiteurs du forum à rentrer en contact avec moi ?

Posté par
luzak
re : Valeurs d'adhérences 20-11-21 à 09:20

Concernant \Na+\Zb voir

Posté par
luzak
re : Valeurs d'adhérences 20-11-21 à 09:22

Désolé pour le couac !
Concernant \N a+\Z b voir



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