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valeurs propres

Posté par marionnette (invité) 15-02-07 à 15:52

bonjour, je cherche un exercice de concours, c'est un QCM, mais j'ai du mal

on nous donne E un espace vectoriel euclidien de dimension 4 rapporté à une base orthonormé B (e1,e2,e3,e4)

on considère l'endomorphisme f de E qui à tout vecteur (x,y,z,t) associe
(a²x+aby+abz+b²t,abx+a²y+b²z+abt,abx+b²y+a²z+abt,b²x+aby+abz+a²t)

je déduis la matrice M de f (qui j'espère déjà est bonne)
M= a²  ab  ab  b²
   ab  a²  b²  ab
   ab  b²  a²  ab
   b²  ab  ab  a²

symétrique réelle donc diagonalisable

on nous demande le polynôme caractéristique parmi 4 réponses qui là sont un peu trop longues à écrire, je vais en mettre une, ca m'aidera deja que l'on m'eclaire sur une, les autres ont toutes (ou presque) le même terme en facteur devant

X(x)=((a+b)²-x)|1   ab       ab       b²      |
               |1  a²-x      b²       ab      |
               |0  b²-a²+x   a²-b²-x  0       |
               |0     0       0       a²-b²-x |

déja pour le terme en facteur devant je ne vois pas comment faire, je me rend bien compte que ce terme a été "sorti" de la première colonne mais je ne vois pas comment le faire apparaitre sans que les autres termes de la lignes ne bougent
j'arrive bien à avoir 0 en (3,1) mais je ne vois pas pour la dernière ligne donc soit c'est faux soit je me trompe
mais dans les 2 cas je ne vois pas

voila, si quelqu'un pouvait m'éclairer un peu ca serait sympa
merci d'avance

Posté par
raymond Correcteur
valeurs propres 15-02-07 à 16:32

Bonjour.

Je pose : P(X) = det(M - XI).
On ne modifie pas le déterminant en ajoutant toutes les lignes sur la première.
La nouvelle première ligne devient : (a+b)² - X (a+b)² - X (a+b)² - X (a+b)² - X
Les autres lignes restent inchangées.
On sait qu'un déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne, donc, on peut mettre (a+b)² - X en facteur.
La nouvelle première ligen devient : 1 1 1 1
Les autres lignes inchangées.
En ignorant momentanément ce (a+b)² - X en facteur, nous allons ôter aux colonnes 2,3,4 la colonne 1. Cela donne :

P(X) = [(a+b)² - X]Det\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ab&a^2-ab-X&b^2-ab&0\\ab&b^2-ab&a^2-ab-X&0\\b^2&ab-b^2&ab-b^2&a^2-b^2-X\end{pmatrix}

On développe sur la première ligne :

P(X) = [(a+b)² - X]Det\begin{pmatrix}a^2-ab-X&b^2-ab&0\\b^2-ab&a^2-ab-X&0\\ab-b^2&ab-b^2&a^2-b^2-X\end{pmatrix}

On développe sur la dernière colonne :

P(X) = [(a+b)² - X][a² - b² - X]Det\begin{pmatrix}a^2-ab-X&b^2-ab\\b^2-ab&a^2-ab-X\end{pmatrix}

Je trouve finalement (à vérifier)

P(X) = [X - (a+b)²][X - (a-b)²][X - (a²-b²)]²

plus RR.



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