Niveau Licence Maths 1e ann

variable aléatoire, probabilités

Posté par
azertya 23-11-14 à 11:49

Bonjour,

pouvez vous m'aider avec cet exercice?

Soit X une variable aléatoire réelle de densité définie par :
$\forall x \in \mathbb{R}, f_X(x) = \frac{exp(-x^2/2)}{sqrt{2\pi}}$

Nous admettons que -1.96 et 1.96 sont les quantiles d'ordre 2.5% et 97.5%. Soit T la variable aléatoire définir par T = 19 + 3X.

1)Donner un intervalle de probabilité bilatéral de niveau 95% de T.

2) Donner la fonction de répartition et la densité de T.

3) Donner le mode de T.

Merci

Posté par re : variable aléatoire, probabilités 23-11-14 à 17:21

Bonjour,

On a : a < T b a < 19 + 3X b (a-19)/3 < X (b-19)/3, ce qui te ramène à la va X.

Posté par re : variable aléatoire, probabilités 23-11-14 à 17:47

D'accord merci !

Mais je ne vois pas comment calculer sa densité

Posté par igma_X=1 23-11-14 à 17:56

bonjour,
1°
X suit la loi normale centrée réduite $\bar X=0 ,\sigma_X=1$
$T=19+3X=>\bar T=19+3\bar X=19$
on cherche a tel que $P(-a<T-19<a)=O,95$ c'est cela??
$P(-a<T<a)=P(-\frac{a}{3}<X<\frac{a}{3})=F_X(\frac{a}{3})-F_X(-\frac{a}{3})=2F_X(\frac{a}{3})-1$
il faut donc résoudre
$2F_X(\frac{a}{3})=1,95=>...$

2° $F_(t)=P(T\le t)=P(X\le \frac{T-19}{3})=...$

3°

Posté par re : variable aléatoire, probabilités 23-11-14 à 18:04

bonjour Pil
je n'avais pas vu que tu étais là
je te laisse poursuivre car si j'aime bien les probas je n'aime pas trop les statistiques j'ai pris un intervalle symétrique,ce n'est pas nécessairement le cas?

Posté par re : variable aléatoire, probabilités 25-11-14 à 13:43

Citation :
j'ai pris un intervalle symétrique,ce n'est pas nécessairement le cas

tout intervalle est symétrique ....non ?

@veleda: tu as perdu un (-19) , tu mets un T au lieu d'un t.

plus simplement:
X suit la loi normale centrée réduite.
T=f(X) avec f une fonction affine.

donc T suit une loi normale.
E(T)=E(19+3X)=19
V(T)=V(19+3X)=V(3X)=9V(X)=9

écart type=3
donc:

exemple d'intervalle de proba à 95% = [19-1.96*3 ; 19+1.96*3]

[19-1.81*3 ; 19+2.17*3] marche aussi mais ce sont les quantiles 2.5% et 97.5% qui ont été donnés.

Posté par re : variable aléatoire, probabilités 25-11-14 à 15:15

*oui j'ai perdu -19 en route

*il s 'agit ici d'unintervalle bilatérall'intervalle que j'ai pris est bilatéral symétrique ce qui a une signification particulière et d'après les données du texte je pense que c'est bien ce qu'il fallait faire

*je ne sais pas si l'on peut utiliser au départ le fait que T suit une loi normale puisque l'on demande en2) fonction de répartition et densité ,cela dépend de ce qui a été vu en cours

*enfin ,oui j'ai tapé un T à la place de d'un t ,simple erreur de frappe
bonne fin de journée

Posté par re : variable aléatoire, probabilités 26-11-14 à 11:11

Citation :
je ne sais pas si l'on peut utiliser au départ le fait que T suit une loi normale

ok, je propose une autre méthode simplissime :

Nous admettons que -1.96 et 1.96 sont les quantiles d'ordre 2.5% et 97.5%
donc nous sommes sûrs à 95% que:
$X \in [-1.96 ;1.96 ]$
donc $3X \in [-1.96*3 ;1.96*3 ]$
donc $19+3X \in [19+-1.96*3 ;19+1.96*3 ]$
donc $T \in [19-1.96*3 ;19+1.96*3 ]$