Je n'arrive pas à comprendre comment on fait pour trouver les solutions d'une équation différentielle d'ordre 1. J'arrive à trouver les solutions de la forme x(t)=Ce^A(t), mais quand il faut utiliser la méthode de la variation de la constante pour trouver les solutions sous la forme x(t)=C(t)e^A(t), je suis complètement perdu.
Le prof nous a même donné des corrigés de certains problèmes où il fallait utiliser cette méthode. Mais je ne vois pas du tout ce qu'il a fait.
Je vous donne un exemple.
b) Résoudre x'+((2t)/(1+t^2))x=0
c) Résoudre l'équation différentielle x'+((2t)/(1+t^2))x=(1+3t^2)/(1+t^2), x(0)=1
Mon prof, il a trouvé que les solutions de b) étaient de la forme x(t)=C/(1+t^2) avec C une constante, ce qui est ce que j'ai trouvé moi aussi.
Pour c), il a utilisé la méthode de la variation. Il a remplacé C par C(t). Il a dérivé l'équation. Et puis, il a dit que cette dérivée est solution de x'(t)=-((2t)/(1+t^2))x+(1+3t^2)/(1+t^2)
Ensuite, il dit que C'(t)=1+3t^2, et que C(t)=t+t^3. Et que les solutions de x'(t)=-((2t)/(1+t^2))x+(1+3t^2)/(1+t^2) sont de la forme x(t)=t+C/(1+t^2) où C appartient à R.
Je ne vois pas du tout ce qu'il a fait.
Merci
Bonjour,
je pense qu'il a simplement dérivé C(t)/(1+t²) qu'il a ensuite réinjecté dans l'expression donnée en c). De mémoire avec ce genre de méthode, des termes disparaissent et seule une expression de C'(t) reste, qui, une fois intégrée conduit à une expression de C(t). Pour la fin, il a simplement remplacé C(t) par sa nouvelle expression dans x(t).
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