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Niveau seconde
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Vecteurs dans un triangle

Posté par
ArenaSagitta
25-04-21 à 11:27

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant:

Soit le triangle ABC, H son orthocentre, G son centre de gravité et O le centre du cercle circonscrit.
Le point H est caractérisé par l'égalité : vecteur OH = vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC.
Le point G par l'égalité : vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur 0 (c'est un zéro).
1/ Soit M, un point quelconque du plan. Montrer que vecteur MA + vecteur MB + vecteur MC = 3 vecteurs MG.
2/ Montrer que vecteur OH = 3 vecteurs OG.
3/ En déduire que les points O,H et G sont alignés.
4/ Dans quel cas a-t-on O=G ? Montrer qu'alors les points O, G et H sont confondus.
5/ Conclure

Merci !

Posté par
hekla
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 11:33

Bonjour

Que proposez-vous ?

Qu'est-ce qui vous gêne ?

Posté par
ArenaSagitta
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 11:35

Le problème est que je n'ai aucune leçon sur laquelle me baser, et que je ne trouve pas les informations nécessaires...

Posté par
hekla
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 11:44

Vous connaissez quand même la relation de Chasles.

Décomposez \vec{GA},\quad \vec{GB},\quad \vec{GC} en faisant intervenir le point M

En écrivant cela, \vec{RS}=\vec{RT}+\vec{TS} on fait intervenir le point T

Posté par
ArenaSagitta
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 11:48

Je ne connaissais pas cette relation, mais donc on doit obtenir :
GA = GM+MA
GB = GM+MB
GC = GM+MC

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 11:50

Bonjour ArenaSagitta,

Citation :
Le problème est que je n'ai aucune leçon sur laquelle me baser, ...

tu pourrais aller faire un tour ici ---> Vecteurs

Bonjour hekla, je ne fais que passer

Posté par
hekla
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 11:55

Surprenant que dans un cours sur les vecteurs, vous n'ayez pas entendu parler de la relation de Chasles

En vecteurs  oui,  faites la somme et dites que c'est le vecteur nul.

Bonjour Tilk_11

Posté par
ArenaSagitta
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 12:05

j'obtiens:
GM+MA + GM+MB + GM+MC = 0
donc:
3GM + MA + MB + MC = 0
et:
MA + MB + MC = 3MG

Posté par
ArenaSagitta
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 12:05

(et nous n'avons pas eu de cours sur les vecteurs. simplement ce devoir)

Posté par
hekla
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 12:10

Vous en faites autant avec \vec{OA},\  \vec{OB},\ \vec{OC} en tenant compte de  la question

Posté par
ArenaSagitta
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 12:14

OH = OA+OB+OC
donc:
OH = OG+GA + OG+GB + OG+GC
OH = 3OG + GA+GB+GC
sauf que GA+GB+GC = 0
donc :
OH = 3OG ?

Posté par
hekla
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 12:20

J'aurais dit  :  or

\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

donc  \vec{OH}=3\vec{OG}

3) définition de vecteurs colinéaires

4) particularité de triangles

Posté par
ArenaSagitta
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 12:25

J'ai pu répondre à la 3/, mais je ne sais pas comment trouver et démontrer une réponse à la question 4/...

Posté par
hekla
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 12:28

Que savez-vous sur les différents triangles  et de leurs propriétés ?

Posté par
ArenaSagitta
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 12:37

Il me semble que O=H si ABC est équilatéral, donc si ses hauteurs et médianes sont confondues et donc que son centre de gravité et son orthocentre sont confondus, mais je ne sais pas comment justifier que le centre du cercle circonscrit O l'est aussi...

Posté par
hekla
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 12:45

O=G   les médianes et médiatrices sont concourantes au même point  par conséquent elles sont confondues et par suite seulement si le triangle est équilatéral

Si O=G alors \vec{OG}=\vec{0}  et comme question 2

Posté par
ArenaSagitta
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 13:17

J'ai réussi à rédiger la 4ème réponse, mais je ne vois pas quelle conclusion je peux tirer pour la question 5...

Posté par
hekla
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 13:36

Dans un triangle, l'orthocentre, le centre de gravité et  le centre du cercle circonscrit sont alignés

La droite est appelée droite d'Euler du triangle  

Posté par
ArenaSagitta
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 13:37

simplement ? d'accord

Posté par
hekla
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 13:50

N'est-ce pas ce que vous avez montré ?  On pourrait préciser non équilatéral,   car dans ce cas les trois points sont confondus et l'alignement est difficile.

Posté par
ArenaSagitta
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 13:52

Effectivement...
Merci beaucoup !

Posté par
hekla
re : Vecteurs dans un triangle 25-04-21 à 14:00

De rien



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