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vecteurs normes

Posté par
valparaiso 15-07-15 à 19:20

Bonjour
Bonjour de dois justifier que pour \vec{u} et \vec{v} \\ , 2 vecteurs du plan,\vec{u} et \vec{v} \\ orthogonaux || \vec{u}+\vec{v}||= ||\vec{u}-\vec{v}||

j'ai travaillé la correction :
les normes des vecteurs étant positives
|| \vec{u}+\vec{v}||^{2}= ||\vec{u}-\vec{v}||^{2}

déjà cette étape n'est pas très claire pour moi
je sais que si A=B et A et B positifs
A²=B²

c'est juste ça qu'on utilise ici?

étape suivante :
les normes disparaissent et sont remplacées par
(\vec{u}+\vec{v})^{2}= (\vec{u}-\vec{v}^{2})

alors là je ne vois pas comment on passe des normes aux vecteurs.

merci de votre aide

Posté par
lafol Moderateurre : vecteurs normes 15-07-15 à 19:26

Bonjour

tu sais que si A = B, alors A²= B²
ce n'est pas ça qu'on utilise ici : ici on cherhce une équivalence

ici, on utilise aussi : si A² = B² et si A et B sont de même signe, alors A= B

du coup on a l'équivalence, pour A et B de même signe, entre A = B et A² = B²

ensuite, comment est défini ||\vec{u}||, d'après toi ?

Posté par
valparaisore : vecteurs normes 15-07-15 à 21:16

Merci de ta réponse
\sqrt{x^{2}+y^{2}}?

Posté par
lafol Moderateurre : vecteurs normes 15-07-15 à 21:54

ça c'est à condition de savoir que le vecteur est dans un espace de dimension 2, d'avoir une base orthonormée, et de connaitre ses coordonnées x et y dans cette base ....
tu ne connais pas de définition de la norme qui soit liée au produit scalaire ?

Posté par
carpediemre : vecteurs normes 16-07-15 à 13:00

salut

\vec u \perp \vec v  <=>  \vec u . \vec v = 0  <=>  4 \vec u . \vec v = 0  <=>  2\vec u . \vec v = -2 \vec u . \vec v  <=>  \vec u^2 + 2 \vec u . \vec v + \vec v^2 = \vec u^2 - 2 \vec u . \vec v + \vec v^2  <=> \\ \\ (\vec u + \vec v)^2 = (\vec u - \vec v)^2  <=>  || \vec u + \vec v ||^2 = || \vec u - \vec v ||^2  <=>  || \vec u + \vec v || = || \vec u - \vec v ||

Posté par
lafol Moderateurre : vecteurs normes 16-07-15 à 15:00

carpi, sa question portait sur ton avant dernière équivalence. De ce que j'ai compris, il a déjà ta chaine d'équivalences sous les yeux, mais en partant de la fin ...

Posté par
valparaisore : vecteurs normes 16-07-15 à 16:52

"tu ne connais pas de définition de la norme qui soit liée au produit scalaire ?"
\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{v}||.cos(\vec{u};\vec{v})=0?

Posté par
carpediemre : vecteurs normes 16-07-15 à 18:57

lafol te donne pourtant la réponse juste au-dessus ...

Posté par
lafol Moderateurre : vecteurs normes 16-07-15 à 19:15

valparaiso, que donne ce que tu as écrit à 16 h52, si on remplace v par u ?

Posté par
valparaisore : vecteurs normes 21-07-15 à 11:23

Si on remplace v par u le Cos vaut 1 et donc le produit scalaire u.u vaut la distance u^2?
Mais dans l'énoncé u et v ne sont pas égaux donc je ne vois pas où tu venu en venir...
Et si en plus tu m'as donné la réponse paraît il?

Posté par
valparaisore : vecteurs normes 21-07-15 à 11:43

Oui ma chaine d'équivalence part de la fin de celle de carpediem.
Désolé notre discussion est un peu hâchée mais je n'ai pas toujours de wifi

Posté par
alainpaulre : vecteurs normes 21-07-15 à 13:27

Bonjour,

Les diagonales du rectangle sont égales,



Alain

Posté par
valparaisore : vecteurs normes 21-07-15 à 13:56

c'est une blague?

Posté par
valparaisore : vecteurs normes 21-07-15 à 13:59

ah pardon oui u et v orthogonaux

Posté par
valparaisore : vecteurs normes 21-07-15 à 14:10

que je prenne la chaine de ma correction ou celle de carpediem je ne comprends pas comment on passe du carré de la somme des vecteurs aux carrés des sommes des normes
2ème ligne du post de carpediem du 16.07 13 heures

Posté par
valparaisore : vecteurs normes 21-07-15 à 14:10

ou plutôt comment on montre qu'ils sont équivalents.

Posté par
Florianbre : vecteurs normes 21-07-15 à 14:39

Bonjour

Pour la norme des vecteurs on a la relation suivante :

|| \vec u ||² = \vec u . \vec u

C'est ce qu'à utiliser carpediem lorsqu'il écrit :

(\vec u + \vec v)^2 = (\vec u + \vec v) * (\vec u + \vec v) = || \vec u + \vec v ||

Florian

Posté par
lakere : vecteurs normes 21-07-15 à 17:30

Bonjour,

Une remarque passée inaperçue:

Citation :
Les diagonales du rectangle sont égales


que je reformulerais plutôt en:

Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales sont égales.

Posté par
alainpaulre : vecteurs normes 21-07-15 à 19:47

Bon,

Les vecteurs sont donnés orthogonaux ...


Alain

Posté par
valparaisore : vecteurs normes 22-07-15 à 10:41

je ne comprends rien!
si je développe ce qu'écrit florian ça donne :
(\vec{u}+\vec{v})^{2}=\vec{u}^{2}+\vec{v}^{2}=||\vec{u}||^{2}+||\vec{v}||^{2}=||\vec{u}+\vec{v}||^{2}
est ce que c'est juste?

Posté par
Florianbre : vecteurs normes 22-07-15 à 11:44

Non, ce n'est pas correct :

(\vec{u}+\vec{v})^{2}=\vec{u}^{2}+\vec{v}^{2} + 2\vec{u}\vec{v}

Que ne comprends-tu pas dans les équivalence qu'à écrit carpediem ?

Posté par
lafol Moderateurre : vecteurs normes 22-07-15 à 17:02

Si j'ai bien compris ce qu'il ne comprend pas, c'est que le carré scalaire = le carré de la norme

ce que j'ai essayé de lui faire comprendre en lui faisant calculer \vec{u}.\vec{u} = ||\vec{u}||\times ||\vec{u}||\times\cos(0), apparemment sans succès .....

Posté par
valparaisore : vecteurs normes 23-07-15 à 10:21

j'ai maintenant bien compris que \vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}^{2}||

que vu que des normes étant positives  ||\vec{u}+\vec{v}||=||\vec{u}-\vec{v}||||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=||\vec{u}-\vec{v}||^{2}

par contre je n'ai encore pas compris la dernière équivalence (\vec{u}+\vec{v})^{2}=(\vec{u}-\vec{v})^{2}

Posté par
Florianbre : vecteurs normes 23-07-15 à 11:59

Bonjour

Tout d'abord, attention, il faut écrire :

\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^{2}

On suppose que \vec u \perp \vec v. On sait alors que \vec u \vec v = 0

Or en développant les deux expressions ci-dessus on a :

(\vec u + \vec v)² = (\vec u)² + 2\vec u \vec v + (\vec v)²

(\vec u - \vec v)² = (\vec u)² - 2\vec u \vec v + (\vec v)²

On utilise le fait que \vec u \perp \vec v \iff \vec u \vec v = 0 ce qui nous permet alors de simplifier les deux expressions ci-dessus :

(\vec u + \vec v)² = (\vec u)² + (\vec v)²

(\vec u - \vec v)² = (\vec u)² + (\vec v)²

Et on a donc bien :

(\vec u + \vec v)² = (\vec u - \vec v)²

Florian

Posté par
lafol Moderateurre : vecteurs normes 23-07-15 à 16:34

valparaiso a écrit :

Citation :
j'ai maintenant bien compris que \vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}^{2}||

que vu que des normes étant positives ||\vec{u}+\vec{v}||=||\vec{u}-\vec{v}||||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=||\vec{u}-\vec{v}||^{2}

par contre je n'ai encore pas compris la dernière équivalence (\vec{u}+\vec{v})^{2}=(\vec{u}-\vec{v})^{2}


elle vient juste de ce que d'une part ||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=(\vec{u}+\vec{v})^{2} et que d'autre part ||\vec{u}-\vec{v}||^{2}=(\vec{u}-\vec{v})^{2}

donc dire que les carrés des normes de u+v et u-v sont égales, ou dire que les carrés scalaires de ces vecteurs sont égaux, c'est kif-kif !

Posté par
valparaisore : vecteurs normes 23-07-15 à 16:44

Ah ok c'était simple en fait

Posté par
valparaisore : vecteurs normes 23-07-15 à 16:57

lafol je n'avais pas vu ton dernier sujet
le développement de Florianb est clair mais il ne dit rien de la raison pour laquelle on a
||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=(\vec{u}+\vec{v})^{2}

est ce vrai ssi les vecteurs u et v sont orthogonaux?

Posté par
lafol Moderateurre : vecteurs normes 23-07-15 à 17:03

c'est TOUJOURS vrai : relis ce que j'ai écrit le 22-07-15 à 17:02, tu peux mettre le vecteur que tu veux à la place de u, u+v, u-v, u+3v-2t, tout ce que tu veux, ça marchera TOUJOURS : carré de la norme = carré scalaire.

Posté par
lafol Moderateurre : vecteurs normes 23-07-15 à 17:07

pour enfoncer le clou : \left(\vec{u} + \vec{v}\right)^2= \left(\vec{u} + \vec{v}\right). \left(\vec{u} + \vec{v}\right)= ||\vec{u} + \vec{v}||\times ||\vec{u} + \vec{v}||\times \cos 0....

Posté par
carpediemre : vecteurs normes 23-07-15 à 20:03

mon msg n'apparait pas ...

Posté par
carpediemre : vecteurs normes 23-07-15 à 20:04

plus généralement ::

\vec u \perp \vec v <=> \forall t \in R : ||\vec u + t \vec v||^2 = ||\vec u||^2 + t^2||\vec v||^2 = \vec u^2 + t^2 \vec v^2

c'est évidemment ce que tu as appris en 4e :: le théorème de Pythagore ...

Posté par
valparaisore : vecteurs normes 24-07-15 à 12:29

ok merci je vais retravailler le produit scalaire

Posté par
lafol Moderateurre : vecteurs normes 24-07-15 à 12:59

je crois que ça s'impose, en effet, en particulier le lien entre norme et produit scalaire.
Je ne sais pas comment on introduit le produit scalaire maintenant, j'espère que ce n'est pas par les coordonnées, mais si c'est comme ça qu'on t'a expliqué ça, ça expliquerait en partie que tu n'aies pas encore fait le lien entre ||\vec{X}||^2 et \vec{X}.\vec{X}...


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