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Vérification d'une équation complexe

Posté par
Skops 10-11-07 à 15:31

Re () bonjour

Soit la famille d'équations :

4$\rm (E\theta) : z^2-(1+isin(2\theta))z+\frac{i}{2}sin(2\theta)

Avec 4$\theta\in ]\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}]

On a aussi z=x+iy

Résoudre 4$\rm (E\theta) dans IC. Puis exprimer les solutions à l'aide de l'exponentielle complexe. Préciser dans quel(s) cas on a une racine double.

J'ai 4$\Delta=cos^2(2\theta)

Donc 4$z_1=\bar{z_2}=\frac{1+isin(2\theta)-cos(2\theta)}{2}

Je trouve comme solution 4$icos(2\theta)sin(2\theta)-sin^2(2\theta) et son conjuguée

Est ce juste ? et comment exprimer cette solution avec l'exponentielle complexe ?

Merci

Skops

Posté par
Redmanre : Vérification d'une équation complexe 10-11-07 à 15:43

salut,
j'ai pas vérifié si c'était bon mais en tout cas:

icos(2\theta)sin(2\theta)-sin^2(2\theta)= isin(2\theta^)e^{i(2\theta)}=sin(2\theta)e^{2i\theta +i\frac{\pi}{2}}

Posté par
Redmanre : Vérification d'une équation complexe 10-11-07 à 15:44

ou sin(2t) > 0 sur l'intervalle de def

Posté par
Redmanre : Vérification d'une équation complexe 10-11-07 à 15:46

et ton delta m'a lair faux

Posté par
Skopsre : Vérification d'une équation complexe 10-11-07 à 16:07

Merci

4$\Delta=(1+isin(2\theta))^2-2isin(2\theta)

4$\Delta=1+2isin(2\theta)-sin^2(2\theta)-2isin(2\theta)

4$\Delta=1-sin^2(2\theta)

4$\Delta=cos^2(2\theta)

Skops

Posté par
Skopsre : Vérification d'une équation complexe 10-11-07 à 16:09

Ton truc de 15h43 je l'avais fait (et défait ) mais pourquoi pas ^^

La forme d'une exponentielle complexe, c'est 4$re^z ou 4$e^z ?

Skops

Posté par
Redmanre : Vérification d'une équation complexe 10-11-07 à 16:18

oui au temps pour moi pour le delta

l'exp complexe c'est e^z en fait

Posté par
Redmanre : Vérification d'une équation complexe 10-11-07 à 16:19

mais c'est pas difficile de passer de l'un a lautre ^^

Posté par
Skopsre : Vérification d'une équation complexe 10-11-07 à 16:25

D'accord

Même si il y a une variable devant e^z, le tout reste une exponentielle complexe ?

Skops

Posté par
Redmanre : Vérification d'une équation complexe 10-11-07 à 16:39

bah il faut que tu passe la variable dans l'exponentielle
en prenant le log du module et en le mettant en exponentielle
l'idée c de ne rien avoir devant le exp

Posté par
Skopsre : Vérification d'une équation complexe 10-11-07 à 16:40

Le logartihme népérien s'applique dans IC ?

Skops

Posté par
Redmanre : Vérification d'une équation complexe 10-11-07 à 16:41

bah en l'occurence ce qui est devant est réel donc pas de question a se poser (ln sin 2t)

Posté par
Skopsre : Vérification d'une équation complexe 10-11-07 à 19:03

Oui j'y ai pensé juste après

Je vais pouvoir continuer l'exo, merci bien

Skops

Posté par
Skopsre : Vérification d'une équation complexe 10-11-07 à 23:34

Après avoir refait mes calculs, je trouve

4$z_{M'}=e^{ln(sin\theta)+i(\frac{\pi}{2}-\theta)}

4$z_{M''}=e^{ln(sin\theta)-i(\frac{\pi}{2}-\theta)}

Soit I, le milieu de [M'M'']

J'ai trouvé 4$z_I=sin^2(\theta)

1) Déterminer l'ensemble des points 4$I(\theta) quand 4$\theta décrit 4$]\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}]
>>Donc l'ensemble est un segment [AB] privé de A et 4$z_A=0 et 4$z_B=1

2) Montrer que l'ensemble des points 4$M'(\theta) et 4$M''(\theta) est un cercle C que l'on précisera
>>Donc là, M' doit représenter une moitié de cercle et M'' une autre mais je n'arrive pas à voir le cercle.

3) Démontrer que lorsque 4$M'(\theta) et 4$M''(\theta) sont disincts (theta est différent de pi/2) alors la droite contenant ces deux points a une direction indépendante de theta.
>>La droite contenant ces deux points ayant pour équation x=sin²(theta), la direction est indépendante de theta

Juste ou tout faux ?

Merci

Skops

Posté par
Skopsre : Vérification d'une équation complexe 11-11-07 à 08:32

up

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Vérification d'une équation complexe 11-11-07 à 10:43

Salut Skops

Pour les solutions je trouve: \huge z=e^{ln(cos\theta)\pm i\theta}

Posté par
Skopsre : Vérification d'une équation complexe 11-11-07 à 12:10

4$z_1=\frac{1+isin(2\theta)-cos(2\theta)}{2}

4$z_1=\frac{1-e^{-2i\theta}}{2}

4$z_1=\frac{e^{-i\theta}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})}{2}

4$z_1=ie^{-i\theta}sin(\theta)

?

Skops

Posté par
Skopsre : Vérification d'une équation complexe 11-11-07 à 12:12

Cela dit, je trouve tes solutions en prenant l'autre solution au départ

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Vérification d'une équation complexe 11-11-07 à 12:13

oui mais le module doit être positif

théta est dans -pi/2,pi/2. Le sinus change de signe dans cet intervalle alors que le cos non. Et bien sur tu ne peux pas écrire ln(sin(theta)) puisque le domaine de définition de ln est IR+*.

laisse tout sous sorme algébrique, remplace cos(2x) par 2cos²(x)-1 et sin(2x) par 2sin(x)cos(x)

factorise par cos(x) (le module)... tu peux conclure?

Posté par
Skopsre : Vérification d'une équation complexe 11-11-07 à 12:16

Ok merci

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Vérification d'une équation complexe 11-11-07 à 12:18

Posté par
Skopsre : Vérification d'une équation complexe 11-11-07 à 12:46

4$z_I=cos^2(\theta) dans ce cas là
Mais l'ensemble des points I reste le même

Skops


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