Niveau Maths sup

Vérification par induction

Posté par
wilness 01-10-26 à 20:50

Bonjour,

J'ai une question concernant cette démonstration:

Soit $x \geq 1$ et $n \in N$
Pour $n = 1$ :
$\left(1+ x \right)^{n} \geq 1 + nx \\$

Supposons que :
$\left(1+ x \right)^{k} \geq 1 + kx \\$

Alors: $\left(1+ x \right)^{k+1} = \left(1+ x \right)^{k}\left(1+x \right) \geq \left(1+kx \right) \left(1 +x \right)$

Maintenant
$\left(1+kx \right) \left(1 +x \right) = 1 + \left(k+1 \right)x + x^{2} \geq 1 + (k+1)x$
Donc
$\left(1+x \right) ^{n} \geq 1 + nx$ pour n un nombre naturel

J'aimerai savoir pourquoi il y a $x^{2}$ au lieu de $kx^{2}$ dans le développement de $\left(1+kx \right) \left(1 +x \right)$
? Je pensai qu'il devrait y avoir un k pour que l'inégalité soit vraie

Merci d'avance

Vérification par induction

Posté par re : Vérification par induction 01-10-26 à 22:52

Bonsoir,

Oui, pour le facteur $k$ , dans le cas d'une égalité,
$(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2$

Mais, dans le cas d'une inégalité, le facteur $k$ peut effectivement disparaître puisque, pour $k\ge1$ , $kx^2\ge x^2$ , ainsi
$(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\ge1+(k+1)x+x^2\ge1+(k+1)x$

Posté par re : Vérification par induction 02-10-26 à 16:49

Merci beaucoup pour cette clarification! Dans quel cas est-ce que $1 + \left(k +1 \right)x+ x^{2} = 1 + \left(k +1 \right)x$ alors que $x$ doit être $\geq 1$ ?

Cordialement

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