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Volume d'un tétraèdre ==> géométrie dans l'espace

Posté par
Gotheye 12-03-07 à 20:08

bonjour a vous .
J'ai un exercice a faire en géométrie dans l'espace , j'ai fait le plus gros mais il  me reste quelques trous dans mes réponses . J'espère que vous pourrez m'aider à les combler

Enoncé :

La figure est un cube OABCDEFG d'arrête 1 , muni d'un repère orthonormal ( \vec{O}; \vec{OA} ; \vec{OC} ; \vec{OD} ) .
On désigne par a un réel strictement positif .
L , M et K sont les points définis par \vec{OL} = a\vec{OC} et  \vec{OM} = a\vec{OA}. H est le projeté orthogonal de O ( et de K ) sur le plan ( DLM)

Mes réponses :
J'ai démontré que
- \vec{DM}.\vec{DL}= 1
- cos( \widehat{MDL})= \frac{1}{a+1}
- sin( \widehat{MDL})= \frac{a\sqrt{a^2+2}}{1+a^2}
- (OK) est orthogonale au plan ( DLM)
- \vec{OM}.\vec{OK} = \vec{OH}.\vec{OK}


Mes questions :

- on note le réel tel que  
\vec{OH}=\vec{OK}
Démontrer que = \frac{a}{a^2+2}
- Determiner les coordonnées de H
- exprimer \vec{HK} en fonction de \vec{OK}, en déduire que  HK = \frac{a^2-a+2}{\sqrt{a^2+2}}
- a l'aide des questions précédentes , déterminer le volume du trétraèdre DLMK en fonction de a


J'éspère que vous serez plus inspiré que moi sur ces questions et  remercie d'avance ceux qui prendront la peine de  me répondre .

Posté par
cailloux Correcteurre : Volume d'un tétraèdre ==> géométrie dans l'espace 14-03-07 à 12:00

Bonjour,

Il manque des données dans ton énoncé:

J' ai réussi à retrouver que K est défini par \vec{BK}=a\vec{BF}.

et K(1,1,a)

A partir de là et une fois que tu as démontré que \vec{OH} et \vec{OK} étaient colinéaires, i.e. O,H,K alignés, tu utilises ce que tu as démontré, à savoir:
\vec{OM}\vec{OK}=\vec{OH}\vec{OK} \Rightarrow \vec{OM}\vec{OK}=OH.OK=\lambda OK^2=\lambda (a^2+2)

Or, \vec{OM}\vec{OK}=a d' où le \lambda cherché.

A partir des coordonnées de K, tu trouves alors facilement celles de H puis HK qui est une hauteur du tétraèdre DLMK.
Pour calculer son volume, il te faut l' aire du triangle DML.
Tu as calculé sin\,{\widehat{DML}} ...

Posté par
sunrise-57re : Volume d'un tétraèdre ==> géométrie dans l'espace 14-01-09 à 18:20

bonsoir,

j'ai le même type d'exercice à faire et justement je ne trouve pas comment calculer l'aire de DML

si quelqu'un a envie de me donner un petit coup de pouce...

Posté par
luc70re : Volume d'un tétraèdre ==> géométrie dans l'espace 31-03-10 à 14:52

Pour trouver l'aire de DLM il faut utiliser la formule des sinus.
Par contre je n'arrive pas à trouver les coordonnées du point H pouvez vous m'expliquer comment faire svp j'ai cet exercice à rendre pour demain.
Merci

Posté par
cailloux Correcteurre : Volume d'un tétraèdre ==> géométrie dans l'espace 31-03-10 à 16:41

Bonjour,

\vec{OH}=\lambda \vec{OK}

Avec \lambda=\frac{a}{a^2+2} et \vec{OK}\|1\\1\\a

d' où \vec{OH}\|\frac{a}{a^2+2}\\\frac{a}{a^2+2}\\\frac{a^2}{a^2+2}

Posté par
luc70re : Volume d'un tétraèdre ==> géométrie dans l'espace 31-03-10 à 21:22

merci


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