salut

f(x) = e^x

g(x)= 1/(x + 1)

tout d'abord il faut comparer f et g sur l'intervalle [0, +oo[ effectivement

ensuite tu dois avoir une formule pour déterminer le volume par rotation autour d'un axe ...

puisque les courbes se croisent il faut intégrer de 0 à 1 puis de 1 à +oo ....

voir

Merci Carpediem pour ta réponse, cependant f(x)= 1/e^x

dans ce cas les courbes se croisent en (0;1), il s'agit donc bien ici d'une seule intégrale de 0 a  .

Voici mon calcul qui mène à la réponse correcte:

f(x)= e^-1x    
g(x)=

g(x)f(x) sur notre domaine de définition, à savoir O;+

v= g²(x) - f²(x) dx

v= (-1/x+1)₀ - (-1/2e^2x)₀
v= (O-(-1)-(0-(-1/2))

La réponse est correcte, est-ce que le développement l'est aussi ?
v= /2

un signe oublié (dans l'exp) et des parenthèses manquent

dernière ligne  ::: pb de signe car tu ne fais pas ce que je dis donc ça manque de rigueur

il faut intégrer de 0 à 1 puis de 1 à +oo si les courbes se croisent

Je ne te suis absolument pas. Les courbes ne se croisent qu'une seule fois en (O;1), or on calcul a partir de 0 jusqu'à l'infinis et l'au-dela. Quel signe aurais-je oublié ?

Désolé pour la rigeur mais je ne comprends pas très bien comment utiliser TEX dans les intégrales

excuse moi j'ai confondu (0, 1)  et (1, 0) ....

ok alors non c'est bon j'ai mal lu ....




c'est tout bon

mais il serait tout de même bien de mener le calcul avec plus de rigueur

(par exemple mettre les bornes d'intégration uniquement à la fin


... = [-1/(1 + x) - e^-2x/2]₀^+oo = ....et calculer proprement en 0 puis en +oo l'infini parler de limite

par exemple calculer entre 0 et a puis faire tendre a vers +oo

...

Coool, merci beaucoup, je me disais bien que j'étais dans le bon!
Désolé mais je n'ai pas les crochets sur mon clavier alors je n'arrivais pas à placer correctement les bornes d'intégrations. Sur ma feuille de brouillons le calcul est nettement plus propre

Quoi qu'il en soit, c'est vrai qu'il est plus facile de calculer l'intégrale "au complet" en 0 puis en a lorsque a tends vers l'infinis.

En fait ce qui me posait problème au début, c'est que je ne comprends pas comment on peut calculer le volume d'un coprs "ouvert". Je dis "ouvert" car même en l'infinis, les 2 courbes ne se recroiseront jamais. Il s'en suit que le volume de ce corps "devrait" augmenter de manière infine non ? Etant donné que la limite "tends" vers zero, mais ne l'atteint jamais. Mon avis est que ce problème relève de l'abération mathématique, je le trouve complètement illogique. Enfin, si j'ai un exercice du style à mon examen, je serrait comment le résoudre

Encore merci et bonne journée

non pas du tout

les deux fonctions tendent vers 0 <==> les courbes de f et de g sont asymptotes (et asymptote à la droites d'équations y = 0)

donc "il y a de moins en moins d'espace" entre les deux courbes .... et même en tendant vers l'infini il y a tellement peu d'espace que l'aire est finie

remarque que c'est déjà vrai pour la fonction exp(-x) ....

Je suis d'accord avec toi qu'il y a de moins en moins d'espace entre les courbes, mais même en l'infinis, si l'on prends le volume engendré par la révolution de g(x) autour de Ox et qu'on y soustrait celui de f(x), il restera toujours un V. En Imaginant que l'on coupe les volumes suivant un plan // au plan Oyz, les rotations des f(x) et g(x) nous donnent deux cercles. Et peu importe ou l'on coupe, on aura toujours 2 cercles de rayons différents (sauf en (0;1) ).

Le fait qu'on doive considerer ce V comme étant égale à 0 me pertube un peu.
Quand 0 multiplie un nombre, aussi grand soit-il on obtient 0, je suis 100% d'accord.
Mais quand un proche de 0 multiplie un très grand nombre, on n'obtient un nombre différent de 0 (même si on s'en approche très fort).

Or dans cet exercice, on nous demande de considerer ce V comme étant égale a O.
Ou encore, pour poursuivre avec l'analogie des 2 cercles (de rayon r₁=1/e^x et r₂= 1/(x+1) si je ne m'abuse), c'est considerer que ces 2 cercles sont identiques quand x->
Ce qui n'est pas vraiment possible puisque les 2 courbes dont ils sont issus ne se croisent en aucun point sauf en (0;1).

Le principe de la limite c'est que l'on tends vers un nombre sans jamais y parvenir non ?
Si l'on se met a 30 cm d'un mur, et qu'on avance de la moitié de la distance qui nous sépare du mur, et que l'on recommence ce mouvement à l'infinis, on serra très proche du mur, mais on ne le toucheras jamais. Il nous restera toujours une petite distance à parcourir, n'est-ce pas ? C'est un peu pareil avec le r de nos deux rayons, ou le V de nos deux volumes non ?

C'est un peu le même principe que le reste de Lagrange, où l'on supprime "l'erreur commise".
Est-il d'ailleurs possible de calculer ce volume avec Mac-Laurin ? Le calcul m'a l'air beaucoup trop complexe que pour oser m'y aventurer, je l'avoue

ralalaa ces limites

Bon je m'arrête là, ne t'inquiète pas, j'ai tout compris au calcul
J'ai juste envie de pousser la discution plus loin, car pour moi on ne prend pas en compte le fameux "reste", autant pour le volume que pour l'analogie avec les cercles (et heureusement, ça facilite le calcul).

D'ailleurs peuton ajouter un petit +V    
avec 0 à le fin de notre réponse ? Ca me parait mathématiquement plus juste.

l'histoire du mur est fausse .... on l'atteind en un temps infini car la somme des puissances de 1/2 converge ....

c'est la même chose ici ...

pareil proche de 0 * très grand fait n'importe quoi ....

ici l'aire est fini et puis c'est tout ....

un rectangle de dimension 1/n^2 et n peut avoir une longueur aussi grande que je veux son aire restera inférieure à 1 ....

La somme des puissance converge, mais dans le fond, même après n déplacement, il reste encore (1/2)ⁿ⁺¹.
Enfin, je m'en tiendrais à la définition sommaire que mon cours m'offre sur la convergeance.
A savoir qu'un suite converge vers a si
et diverge si
C'est marrant de pouvoir justifier qu'on peut atteindre quelque chose en un temps infinis puisque le propre même de l'infinis est de ne pas être finis. Je vais desuite me plonger un peu dans les notions d'infinis parce que mon cours n'est pas très clair à ce sujet, et les paradoxes de l'infinis ont l'air plutot passionant En economie ça doit avoir avoir des conséquences assez intéressantes d'ailleurs.

Quoi qu'il en soit merci beaucoup pour cet échange. En m'écartant du sujet je ne respècte pas vraiment la charte du forum. Je vous souhaite donc une agréable soirée.

ps: l'histoire du rectangle n'est vrai que si x ]-1;0[]0;1[

et que penser de la suite (-1)ⁿ ou encore eⁿcos n ? ...

la curiosité est le moteur de l'apprentissage et le transforme en jeu ...

alors profite et amuse toi bien ....

bonne soirée à toi aussi et au plaisir