Salut,
Je dois déterminer si la proposition suivante est vraie ou fausse.
Si f et g sont deux fonctions (dont le domaine est R* et le codomaine est R) localement bornées en 0, alors leur produit f.g est localement borné en 0.
Est-ce que quelqu'un sait comment prouver/infirmer la proposition ?
Merci beaucoup.
Bonjour,
si tu as de l'intuition et que tu penses que c'est faux, tu peux toujours sortir un contre-exemple, ça infirme directement la proposition.
Sinon, tu essayes de démontrer la proposition avec les définitions.
Tu as tenté quelque chose ?
Écris peut-être les définitions d'être localement bornée pour une application, et essaye de voir si tu peux pas bricoler quelque chose.
Écris bien les choses avec des quantificateurs et les informations de l'énoncé. Si sont localement bornés en 0, alors il existe ... tel que pour tout .... on ait ... etc
Si sont localement bornées en 0, alors il existe M>0 et tels que pour tout x appartenant à R* on ait et il existe M'>0 et tels que pour tout x appartenant à R* on ait .
Donc on a .
Donc le produit de f et g est localement borné en 0.
Est-ce correct? Je le trouve trop simple pour être vrai et on ne fait pas usage du fait qu'elles sont localement bornées spécifiquement en 0.
Je suppose que tu as voulu écrire le symbole intersection à la place de l'union.
Pour tout x dans [-d,d]\{0} (d = delta, j'ai pas envie de faire du latex ce soir désolé), tu as |f(x)| < M ; pour tout x dans [-d',d']\{0}, tu as |g(x)| < M'.
Ne vois-tu pas une condition sur x afin d'avoir |f(x)g(x)| < M*M' en regroupant les données ?
Je vois aussi que les fonctions ne sont pas définies en 0 ici, c'est le même principe bien-sûr et ça donne
D'accord, merci.
Alors, avec tout ce qu'on a déterminé au long de ce sujet, je peux déjà affirmer que la proposition est vraie? Ou il me manque quelque chose?
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