Bonsoir,

La dérivée d'une fonction dérivable sur un segment ne s'annule pas nécessairement. Prend par exemple l'application identité .

Je pense que ta confusion vient du fait qu'avoir un extremum sur un segment n'implique pas nécessairement annulation de la dérivée. En effet, l'extremum peut être atteint au bord du segment...

Par contre si ta fonction est definie sur un intervalle OUVERT tout extremum est atteint à un point où la dérivée s'annule

Et tant qu'on y est, si la dérivée s'annule, ce n'est pas forcément en un extremum local. Penser à l'application dont la dérivée s'annule en 0.

Salut
Petit rappel d'un théorème simple, mais rarement bien compris :

1- Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné [a,b].
2- On suppose que f est dérivable sur ]a,b[ (c'est une condition nécessaire à la validité du théorème, donc le théorème reste vrai si f est dérivable sur [a,b]; il y a souvent des questions à ce niveau).
3- On suppose que f(a) = f(b).
Alors sous ces trois hypothèses : il existe au moins un c dans ]a,b[ (notez que l'intervalle est ouvert) tel que f'(c) = 0.

Les conditions 1- 2- et 3- sont nécessaires pour la validité du théorème, mais elles ne sont que suffisantes pour la conclusion et non nécessaires en dehors du cadre du théorème.

La fonction définie par ne respecte aucune des hypothèses du théorème et pourtant on a la conclusion (oui, il suffit de restreindre f à un intervalle fermé, non trivial, centré de ]-1,1[, pour retrouver les hypothèses du théorème )