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:*: Construction d'un arc de cercle :*:

Posté par
infophile 27-04-07 à 19:48

Bonsoir

On m'a demandé de faire quelques calculs pour des constructions en bâtiment.

On a un mur de largeur L et on souhaite construire un arc de cercle d'une certaine hauteur h passant par les sommets que j'ai noté A et B.

Le plus simple est alors de déterminer le centre C du cercle passant par les points A et B comme sur le schéma joint.

:*: Construction d\'un arc de cercle :*:

En appliquant Pythagore dans le triangle OCB on obtient :

OB^2+OC^2=CB^2\\ \\ (\frac{L}{2})^2+(R-h)^2=R^2\\ \\ \frac{L^2}{4}+R^2-2Rh+h^2=R^2\\ \\ 2Rh = \frac{L^2}{4}+h^2

\fbox{R = \frac{L^2}{8h}+\frac{h}{2}}

Mais lorsque L est grand et h très petit alors le rayon du cercle à tracer est trop important.

Par exemple en prenant (en exagérant) une longueur L=6m et une hauteur h=1 cm alors le rayon mesure environ 450 m, alors pour le tracer bonjour !

Alors on m'a demandé s'il n'y avait pas une autre méthode pour tracer cet arc de cercle. Sans trop réfléchir j'ai choisi la méthode bourrin : analytique.

En choisissant un repère orthonormé comme sur le schéma suivant :

:*: Construction d\'un arc de cercle :*:

On a C(0,h-R) et donc le cercle de centre C et de rayon R a pour équation :

\fbox{x^2+(y-(h-R))^2=R^2}

On développe :

x^2 + (y-(h-R))^2 = R^2\\ \\ x^2 + y^2 - 2y(h-R) + (h-R)^2 = R^2\\ \\ x^2 + y^2 -2y(h-R) + h^2 -2hR + R^2 = R^2\\ \\ y^2 -2(h-R)y + x^2 + h^2 - 2hR = 0

Pour x, h et R fixés on a alors une équation du second degré :

\Delta=4(h-R)^2-4(x^2+h^2-2hR)\\\Delta=4[(h-R)^2-x^2-h^2+2hR]\\\Delta=4[h^2-2hR+R^2-x^2-h^2+2hR]\\\Delta=4(R^2-x^2)

En supposant que R^2-x^2>0 on a alors :

\{y_1=(h-R)-\sqrt{R^2-x^2}\\y_2=(h-R)+\sqrt{R^2-x^2}

En prenant la deuxième égalité avec \{x_1=1\\x_2=2\\x_3=3 et \{R=5\\h=2 on obtient \{y_1\approx 1,89\\y_2\approx 1,58\\y_3=1 ce qui correspond aux valeurs graphiques.

En imaginant qu'on prenne plusieurs points on pourrait alors tracer approximativement l'arc de cercle, mais c'est chiant .

Avez-vous une autre suggestion pour tracer cet arc de cercle ?

Merci

Posté par
jamo Moderateurre : :*: Construction d'un arc de cercle :*: 27-04-07 à 21:01

Bonjour,

il y a quelque chose que je ne comprends pas dans ta question : pourquoi veux tu "tracer" ce cercle ?

Qu'est ce qui te pose problème si le rayon est grand ? Ou veux tu le tracer ?

Posté par
infophilere : :*: Construction d'un arc de cercle :*: 27-04-07 à 21:13

Bonsoir jamo

C'est un arc surbaissé que mon père veut construire, donc au préalable on trace l'arc au sol à l'aide d'une ficelle dont on attache l'extrémité à un piqué (le centre du cercle).

Si le rayon est trop grand (genre 100m) ça ne va pas être évident à tracer avec une ficelle

Donc je cherche une méthode plus pratique, voir même s'il faut approximative pour résoudre le problème. Avec l'équation du cercle comme je l'ai fait ça fonctionne mais c'est pas top comme méthode, faut calculer les coordonnées de plusieurs points...

Une idée ?

Posté par
jamo Moderateurre : :*: Construction d'un arc de cercle :*: 27-04-07 à 21:18

Et en calculant les coordonnées de quelques points ?

Posté par
infophilere : :*: Construction d'un arc de cercle :*: 27-04-07 à 21:20

Oui c'est exactement ce que j'ai fait plus haut

Je voulais savoir s'il n'y avait pas plus direct ?

C'est un peu le même style qu'ici : Surface de la facade de la Gare Montparnasse

Posté par
borneore : :*: Construction d'un arc de cercle :*: 27-04-07 à 21:27

Bonjour,

Kévin, ça ressemble à un topic que tu as posté l'an dernier, non ?  

Posté par
infophilere : :*: Construction d'un arc de cercle :*: 27-04-07 à 21:29

Salut borneo

Oui sauf que l'année dernière on avait pas le problème du rayon de 15 km

Et j'ai approfondi un peu ça, mais pas très pratique !

Posté par
borneore : :*: Construction d'un arc de cercle :*: 27-04-07 à 21:31

Voilà ! Qui dit que les anciens perdent la mémoire     Curiosité géométrique (construction bâtiment)

Posté par
infophilere : :*: Construction d'un arc de cercle :*: 27-04-07 à 21:33

Toutafé !

Il n'y a donc pas d'autres méthodes que de passer par un calcul de coordonnées ?

Posté par
infophilere : :*: Construction d'un arc de cercle :*: 27-04-07 à 21:35

Je peux avouer maintenant que j'avais eu la flemme l'an passé et que je n'avais même pas cherché

Posté par
infophilere : :*: Construction d'un arc de cercle :*: 27-04-07 à 22:18

Up

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : :*: Construction d'un arc de cercle :*: 27-04-07 à 22:21

Bonsoir Kevin,

je n'ai pas bien compris où est ton problème? est-ce qu'il faut juste définir le centre C pour que l'arc passe par A et B?

Posté par
infophilere : :*: Construction d'un arc de cercle :*: 27-04-07 à 22:25

Salut monrow

Non en réalité j'ai résolu le problème, ce que je veux savoir c'est s'il y a plus simple que la méthode que j'ai utilisée pour tracer l'arc de cercle (en sachant que chercher le centre ici ne convient pas car pour des petites valeurs de h on obtient un rayon trop grand et on ne peut pas tracer le cercle en grandeur réelle).

Mais c'est pas grave sinon je me contenterais de calculer les coordonnées de certains points


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