Bonjour,

Nous sommes d'accord pour la première question

Pour la deuxième question : être gagnant signifie avoir soit 4 soit 5 réponses bonnes sur les 5 questions posées.
Et tu connais par le résultat de la première question la probabilité d'avoir bon à une question.

Ok ouf pour la première !

Et pour la deuxième, trouve-t-on bien = 6 r ?
Merci !

Excuse-moi, j'ai de gros problèmes de connexion...

Je ne trouve pas cela. Comment as-tu fait ?

Pour ma part j'ai calculé la probabilité qu'il réponde correctement aux 5 questions
et j'ai ajouté
la probabilité pour qu'il réponde exactement à 4 questions (en se trompant une fois et une seule)

Pas de problème pour ta conexion, c'est moi qui te remercie de ton aide !
Oui t'as raison c'est pas logique ce que j'ai fait.
J'ai raisonné comme toi.
R c'est la proba qu'il réponde juste à une question. Donc pour 5 bonnes réponses, il lui faut 5r. Et pour qu'il gagne avec 4questions, il lui faut 4r.
Donc 5r + 4r = 9r ?
Je vois pas trop comment on peut faire le raisonnement autrement...

Une grande règle du calcul des probabilités :

ET EN PLUS... ET EN PLUS... ET EN PLUS... se traduit par des multiplications ... x ... x ... x ...

alors que
OU BIEN... OU BIEN... OU BIEN... se traduit par des additions ... + ... + ... + ...

Ici :
Pour avoir les 5 réponses bonnes, il faut
bon à la 1ère ET EN PLUS bon à la deuxième ET EN PLUS bon à la 3ème... ET EN PLUS bon à la cinquième
donc la probabilité correspondante est r.r.r.r.r = r⁵

Comment peut-il avoir 4 (et exactement 4) réponses bonnes ?
As-tu étudié la loi binomiale ?

Oui c'est vrai... (j'ai vraiment du mal en proba, snif...)
Alors pour la loi binomiale, je me rappelle... relativement à vrai dire !
Pour avoir 4 réponses justes, ce serait pas quelque chose comme :
(₄⁵)r⁴ x (1-r)

Merci ! (et si c'est pas du tout ça, faut pas se moquer ! )

D'une part, je ne me moque jamais, d'autre part... c'est ça !

Plusieurs manières de raisonner :
Une est fausse, probabilité (1-r)
Les quatre autres sont toutes bonnes, probabilité r⁴
donc probabilité une fausse (la première) ET EN PLUS 4 suivantes bonnes : (1-r).r⁴
Mais, c'est OU BIEN la première qui est fausse OU BIEN la seconde... OU BIEN la cinquième
donc probabilité que l'une quelconque soit fausse
(1-r).r⁴ + (1-r).r⁴ + ... + ... + (1-r).r⁴ = 5.(1-r).r⁴

Et ce 5 c'est le nombre de manières de choisir une fausse parmi 5 c'est-à-dire

Donc la probabilité de 4 bonnes (ni plus ni moins) s'écrit

Et maintenant, quelle est la probabilité qu'il soit gagnant ?

La somme des deux ! Donc = r⁵ + (₄⁵).r⁴.(1-r) = 5r⁴ - 4r⁵
C'est bien ça ?
Bon il reste plus qu'à passer à la suite...

Bon pour la question suivante, serait-ce = r⁵
(si oui après il suffit de mettre en fonction de p grace à la première question...)

Oui, la somme des deux puisque pour gagner il lui faut OU BIEN répondre aux 5 OU BIEN répondre à 4 de manière juste.

Pour la question suivante : on sait qu'il a gagné ("sachant que"...) ; il avait deux manières d'y parvenir (c'est la deuxième question que tu viens de faire) ; probabilité conditionnelle...

Ok.
Donc il faut calculer = r⁵ sachant ?

Oui... ton écriture est presque la réponse !

D'accord... il reste plus qu'à le mettre sous forme de calcul...
Et à vrai dire je tombe sur des choses assez incohérentes... je n'arrive pas à traduire le "sachant que" ici...

A : l'événement "il a gagné"
B : l'événement "il a 5 réponses bonnes"

P(BA) = P(B) puisque si B est réalisé alors A est aussi réalisé
et P(B) = r⁵
P(A) = r⁵ + 5.r⁴.(1-r)



Le tout en fonction non pas de r mais de p

D'accord !
C'est incroyable comme c'est simple expliqué comme ça... oui c'est vrai, et c'est plutôt simple en plus.
Merci beaucoup pour cette clarification ! Le reste n'est que calcul en effet...

Je ne suis pas sûr de pouvoir t'accompagner encore longtemps ce soir. Je serai là demain matin et lirai ce que tu auras posté.
Pour la dernière question, sans explications, je te donne mon résultat qui est, sauf erreur :
la probabilité de gain est environ 0,513 ou 51,3 %

d'accord, je m'y met de suite.
J'ai trouvé que = (1+2p)/(11-8p)
J'espère que c'est bien ça.
En tous cas merci beaucoup d'avoir pris le temps de m'expliquer.

Petite vérification (elle ne prouve pas tout, mais elle rassure un peu quand même... )
si p = 1 (il sait répondre à chaque question) alors = 3 / 3 = 1 ou 100 %

Je trouve 0,481...
Car g1 (pour E1) = 1 et g2 = g3 = 2/9
C'est pas ça ?

J'ai réutilisé la loi binomiale pour E2 et E3, et ensuite j'ai calculé g = (g1+g2+g3)/3
Où est l'erreur...?

Je ne crois pas...
Sa probabilité de gain s'il tire l'enveloppe E₁ n'est quand même pas une certitude.
Avec l'enveloppe E₁ :
p = 4 / 5 = 0,8
r = (1/3) + (2/3).p = 0,866 66..
₁ = r⁴.(5-4.r) = 0,865 057 ...

De même ₂ et ₃ ne sont pas égaux à 2 / 9

Mais pour E₁, il connait 4 réponses sur 5, ce qui veut dire qu'il va répondre juste (c'est précisé dans l'énoncer non ?), et c'est suffisant pour gagner le jeu. Donc g₁ = 1... je me trompe ?

Bien vu ... tu as tout à fait raison !
Et... mon résultat annoncé à 21 h 41 est donc faux.

Comment calcules-tu ₂ et ₃ ?

J'utilise la loi binomiale...
₂ = ₃ = (₂³).(1/3)².(1-1/3)

En fait, on sait que deux réponses sont obligatoirement justes. Pour les trois autres, il va répondre au hasard, donc il a à chaque fois une chance sur trois de trouver la bonne réponse. Il lui en faut au moins deux des trois pour gagner le jeu. Voilà...

Cette fois-ci c'est moi qui ne suis pas d'accord ...
Tu as calculé la probabilité pour qu'il ait dans les trois réponses inconnues 2 et exactement 2 (ou "ni plus ni moins 2") réponses justes en répondant au hasard.
Or tu as bien écrit :

Ah oui c'est vrai ! J'y ai pensé en plus ! Oui oui je suis tout à fait d'accord, et je trouve la même chose exactement !
Ouf on en vient à bout !
Encore merci d'être resté aussi tard et surtout de toute cette patience (il en faut )
Bonne nuit et à bientôt !

Je ne suis pas sûr que les erreurs des uns puissent servir aux autres. Malgré tout je te dis comment je me suis trompé.
J'ai lu la quatrième question dans la continuité des trois premières. Et j'ai interprété, à tort, "il connaît quatre réponses" comme conduisant à une probabilité p = 4/5. Dans cet élan j'ai aussi utilisé pour la quatrième question une notation (_i) qui était adaptée pour la deuxième question.
L'énoncé aurait été moins "piégeant" si au lieu de numéroter 1) 2) 3) et 4) il y avait eu quelque chose comme 1^ère partie 1) 2) et 3) puis 2^ème partie et un avertissement : "les deux parties sont indépendantes" ; mais j'en demande beaucoup...

Je t'en prie.
A une prochaine fois !