Bonjour,
voila une proposition de mon cours dont je ne comprend pas la démonstration :
Soit un polynôme irréductible.
admet un corps de rupture isomorphe à .
De plus les corps de rupture de sont isomorphes comme extension de K et sont de degré sur K.
Preuve :
On prend la surjection canonique et on note .
On a .
On prend ensuite l'homomorphisme .
D'après un lemme (voir ce post Application d'un lemme (algèbre, extension de corps)), il existe une extension N/K et un isomorphisme qui prolonge f (ie. ).
Il suit que est une racine de P(X) dans N et que N=K[a]. Donc N est un corps de rupture de P(X). (C'est le passage que je ne comprend pas)
Enfin :
Si E est un corps de rupture de P(X). On note a une racine de P(X) dans E. Alors P(X)=Irr(a,K,X) (c'est toujours vrai? Si on prend un corps de rupture d'un polynôme alors ce polynôme est le polynôme minimal ?).
Il existe un isomorphisme de corps E\to N qui est K-linéaire. C'est donc un isomorphisme d'extension. (Je ne comprend pas ce passage aussi)
Merci!
Bonjour H_aldnoer
Un corps de rupture est un "plus petit" corps dans lequel P admet au moins une racine x. Soit Q le polynôme minimal de x. Comme P(x)=0, Q divise P et comme P est irréductible, Q=P donc P est bien le polynôme minimal de x.
Je ne vois pas ce qui te chagrine dans le fait que N=K[a] est un corps de rupture de P.
De manière générale:soit un corps K, deux extensions L et N et un morphisme f de L dans N tel que f(k)=k pour k dans K, et P(X)=a0+...a_nXn à coefficients dans K. Alors pour x dans L:
Donc si je prend L/K et N/K deux extensions, un homomorphisme d'extension c'est une application de L dans N ?
Je n'ai pas la définition en fait!
Très bien.
On a donc trois application ici :
l'homomorphisme : pourquoi est-il qualifié de naturelle ?
l'isomorphisme
est la dernière application qui est l'injection canonique il me semble , est-ce bien cela ?
Pour f c'est simplement la surjection canonique.
Si tu veux, mais le fameux lemme, disait qu'on peut choisir N contenant vraiment K. Tu as le droit d'introduire l'injection canonique, mais je vois mal l'utilité.
Enfin plutôt l'inclusion canonique?
Je voulais savoir aussi, on sait que g prolonge f mais pourquoi prolonge f aussi ?
Ok, donc j'arrive maintenant au fait que a dans N ainsi défini est racine de P.
Pourquoi N=K[a] ?
Un corps de rupture de P est une extension E/K tel que P admet une a dans E et que E=K[a]
On applique cette définition avec E=N ?
On sait que si L/K est une extension, a un élément de L algébrique sur K, en posant P(X)=Irr(a,K,X), on a l'isomorphisme entre K[a] et K[X]/(P(X)).
Est-ce que cela vient de ce résultat que N=K[a] ?
Je ne comprend pas ... quand on montre que quelque chose est isomorphe à K[X]/(P(X)), alors ce quelque chose est K[a] ??
Ce quelque chose est de la forme K[l'image de x] (n'oublie pas que x est la classe de X dans le quotient.
Non, si j'ai bien suivi, N est celui du fameux lemme. Il existe et il est isomorphe à K[X]/(P) d'après le lemme. Ensuite on appelle a l'image réciproque de x=classe(X) et c'est là que l'on dit que puisque K[X]/(P)=K[x], on a N=K[a] et on vérifie que a est racine de P.
Oh là là! C'est la seule chose à vraiment comprendre dans ce fatras...
Un élément de K[X]/(P) est la classe d'un polynôme Q(X), c'est donc quelque chose de la forme Q(x).
Bon, oublie tout ça. On revient aux basiques. Le polynôme X2+1 est irréductible sur R et je considère L=R[X]/X2+1. Il s'agit des classes de congruence modulo (X2+1) et j'appelle x la classe de X. Soit s la surjection canonique qui à un polynôme fait correspondre sa classe. On a donc s(X)=x et t et u sont des réels distincts, ils ont des classes distinctes; je fais l'abus habituel de notation, qui consiste à noter t la classe du polynôme constant t. On a donc s(t)=t pour t réel et à ce moment on a identifié R à un sous-corps de L.
Maintenant on a s(P(X))=P(x) pour tout polynôme P. Ceci prouve déjà que L=R[x].
Comme s(X2+1)=x2+1=0, x est racine dans L de X2+1. Maintenant je sais que L est un corps de rupture de X2+1 sur R.
Soit A un polynôme quelconque. Par division euclidienne on a
A(X)=Q(X)(X2+1)+aX+b.
En prenant les classes, A(x)=ax+b donc tout élément de L s'écrit ax+b, avec x2+1=0.
Je te laisse le plaisir de prouver que L est isomorphe à C.
Et maintenant je m'en vais... J'ai mis exprès pour toi et lolo une amusette en détente
On a donc toujours que K[X]/(P(X))=K[s(X)] si s désigne la surjection canonique de K[X] dans K[X]/(P(X)) ?
Deux corps L et N sont isomorphes comme extension de K ça signifie que L et N sont des extensions de K (soit donc L/K et N/K) et il existe un isomorphisme entre les deux ??
l'isomorphisme en question doit en plus être u
n K-isomorphisme , c'est à dire sa restriction à K est l'identité.
Oui, en fait je pense que j'ai confondu :
soit P(X) dans K[X] de degré d tel que P(a)=0.
une base de K[a] est {1,a,...,ad-1}
une base de K[X]/(P(X)) est {1,X,...,Xd-1}
c'est bon ?
Le fait qu'il soit irréductible nous apporte quoi comme information ?
Que K[X]/(P) est en plus dans ce cas un corps ?
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