Forum : arithmétique :
Parties du plan

Bonjour,

J'ai un exo où je dois déterminer le nombre de parties du plan déterminées par n droites (n dans N*) sachant que trois droites quelconques ne sont jamais concourantes et que deux droites quelconques ne sont jamais parallèles.
Je ne sais pas par où commencer à part par un exemple.
J'ai essayé avec trois droites et je trouve 6 partie soit 3! mais je ne sais pas du tout comment généraliser (si jamais il s'avére que c'est juste)
Merci de votre aide

vinka

Bonjour,

Commence par regarder les premières valeurs :
1 droite --> combien de parties ?
2 droites --> combien de parties ?
3 droites --> combien de parties ?
4 droites --> combien de parties ?

J'ai trouvé 2, 4, 7 et 10 pour espectivement 1,2,3, et 4 droites

Pas d'accord pour 4.

Ah oui c'est 11...La forme générale c'est 1+n*(n+1)/2 ?

soit P(n) le nombre de parties du plan constituées par n droites.
P(1) = 2

Quand on rajoute (n+1)ème droite, cette dernière coupe les n droites existantes, créant ainsi (n+1) nouvelles parties du plan :
P(n+1) = P(n) + (n+1)

Donc :
P(n) = P(1) + 2 + 3 + 4 + ... + n
P(n) = 2 + 2 + 3 + 4 + ... + n
P(n) = 1 + (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)
P(n) = 1 + n(n+1)/2

Sauf erreur

Merci

Je t'en prie.