CNS pour qu'un triangle soit équilatéral

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CNS pour qu'un triangle soit équilatéral

Posté le 14-06-08 à 11:14

Posté par charmuzelle

Bonjour à tous et toutes

Je révise le programme de math sup et déjà, je n'arrive pas à faire un petit exercice tout simple du chapitre des complexes dans le paragraphe "racine nièmes de l'unité".

C'est l'histoire d'un triangle ABC dans le plan complexe, où a, b, c sont les affixes respectives des points A, B, C.
Il faut prouver que ABC est équilatéral si et seulement si a²+b²+c²-ab-ac-bc=0

J'ai traduit AB = AC = BC par module²(a-b)=module²(b-c)+module²(c-a)

J'ai voulu développer en utilisant module²(z)=z*conjugué(z), mais je 'arrive pas à me débarrasser des conjugués dans le développement. Je ne suis sans doute pas sur la bonne piste...

Qu'en pensez-vous ? Merci d'avance.

re : CNS pour qu'un triangle soit équilatéral

Posté le 14-06-08 à 11:15

Posté par charmuzelle

non c'est =, pas + dans module²(b-c)=module²(c-a)

CNS pour qu'un triangle soit équilatéral

Posté le 14-06-08 à 11:50

Posté par rogerd

Bonjour

Le triangle est équilatéral ssi on passe du vecteur AB au vecteur AC par rotation de Pi/3 ou -Pi/3 donc ssi
(b-a)=-j^2(c-a) ou (b-a)=-j(c-a) donc ssi l'un des deux complexes (b-a)+j^2(c-a) et (b-a)+j(c-a) est nul donc ssi le produit est nul.
Cela devrait donner la relation demandée.

re : CNS pour qu'un triangle soit équilatéral

Posté le 16-06-08 à 10:00

Posté par charmuzelle

Bonjour Rogerd

J'avais renoncé à cette piste à cause des deux éventualités (pi/3 ou -pi/3), mais elle semble plus s'inscrire dans le paragraphe du chapitre... Donc je vais essayer et t'en donne des nouvelles. Merci beaucoup.

re : CNS pour qu'un triangle soit équilatéral

Posté le 16-06-08 à 10:54

Posté par charmuzelle

(R) ABC est équilatéral

(R)

C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle $\frac{\pi}{3}$ ou $-\frac{\pi}{3}$

Or $e^{\frac{\pi}{3}}=-j^2$ et $e^{-\frac{\pi}{3}}=-j$

Donc (R)

$(c-a)=-j^2(b-a)$ ou $(c-a)=-j(b-a)$

(R)

$[c-a+j^2(b-a)][c-a+j(b-a)]=0$
(R)

$(c-a+j^2b-j^2a)(c-a+jb-ja)=0$
(R)

$(1+j+j^2+j^3)a^2+j^3b^2+c^2+(-j-j^2-j^3-j^3)ab+(-1-1-j-j^2)ac+(j+j^2)bc=0$

or $1+j+j^2=0$ et $j^3=1$ et donc $-j-j^2-j^3-j^3=-1$ ainsi que $-1-1-j-j^2$ et $j+j^2$

On a donc bien (R)

$a^2+b^2+b^2-ab-ac-bc=0$ CQFD

Merci beaucoup. Très bonne journée.

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