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Convergence en loi et en probabilité

   
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#msg1922181 Posté le 24-06-08 à 01:03
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Bonsoir,

je suis bloqué sur cette exercice dès le début :

Soit \Large{(X_n)_{n\ge 1}} une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, donnée pour tout \Large{n\ge 1} par :

\Large{\mathbb{P}(X_n=1)=p,  \Large{\mathbb{P}(X_n=-1)=p,  \Large{\mathbb{P}(X_n=0)=1-2p avec \Large{p\in [0,\frac{1}{2}].

Soit \Large{Y_n=\Bigprod_{k=1}^nX_k.

1) Montrer que \Large{\mathbb{P}(Y_n=0)=1-(2p)^n, que \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\mathbb{P}(Y_n=-1)=\frac{(2p)^n}{2}.
2) Etudier, suivant les valeurs de \Large{p}, la convergence en loi de \Large{(Y_n)}.
2) Etudier, suivant les valeurs de \Large{p}, la convergence en probabilité de \Large{(Y_n)}.

---

Voici ce que j'ai fais :
\Large{\mathbb{P}(Y_n=0)=1-\mathbb{P}(Y_n\neq 0)=1-(\mathbb{P}(Y_n=1)+\mathbb{P}(Y_n=-1))1-2\frac{(2p)^n}{2}=1-(2p)^n.
Mais il reste à montrer que \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\mathbb{P}(Y_n=-1)=\frac{(2p)^n}{2} et la ça bloque!

Pour avoir l'événement \Large{(Y_n=1) par exemple, il faut que \Large{(X_k=0)} soit exclus, et que pour tout \Large{k}, \Large{(X_k=1)} ou alors que l'on ait un nombre pair de \Large{(X_k=-1)}. Je n'arrive pas à le formaliser!
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922211 Posté le 24-06-08 à 09:17
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Bonjour,

j'ai réfléchis, mais j'avance pas vraiment :
\Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=1-\mathbb{P}(Y_n\neq 1)=1-(\mathbb{P}(Y_n=0)+\mathbb{P}(Y_n=-1))

D'où \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)+\mathbb{P}(Y_n=-1)=1-\mathbb{P}(Y_n=0)=(2p)^n.

Je n'arrive toujours pas à déterminer \Large{\mathbb{P}(Y_n=1).
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922334 Posté le 24-06-08 à 12:41
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Salut H

Dire que Yn=1 équivaut à dire qu'un nombre pair des Xk valent -1.

Ainsi:


4$\Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\bigsum_{0\le 2k\le n}\;\;\;\;\bigsum_{1\le l_1<l_2<...<l_{2k}\le n}\mathbb{P}[(\forall 1\le i\le 2k, X_{l_i}=-1)\bigcap (\forall l\notin \{l_1;...;l_n\}, X_l=1)]\;=\\ \\ \\ \bigsum_{0\le 2k\le n}\;\;\;\;\bigsum_{1\le l_1<l_2<...<l_{2k}\le n}p^{2k}p^{n-2k}\;\;= \\ \\ \\\bigsum_{0\le 2k\le n}\;\;\;\;\(n\\2k\)p^{n}


par indépendance des   4$X_l   et puisque   4$\Large{\mathbb{P}(X_l=1)=\Large{\mathbb{P}(X_l=-1)=p.


De même, Yn vaut -1 ssi un nombre impair de Xk valent -1.

En raisonnant de même, on trouve:


4$\Large{\mathbb{P}(Y_n=-1)=\bigsum_{1\le 2k+1\le n}\;\;\;\;\(\;\;n\\2k+1\)p^{n}.

D'où:

4$\Large{\mathbb{P}(Y_n=1)-\Large{\mathbb{P}(Y_n=-1)=\bigsum_{0\le k\le n}\;\;\;\;(-1)^k\(n\\2k\)p^{n}=p^n\bigsum_{0\le k\le n}\;\;\;\;(-1)^k\(n\\2k\)=p^n(-1+1)^n=0.

Par suite:    


4$\Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\Large{\mathbb{P}(Y_n=-1)=\fr{1-{\mathbb{P}(Y_n=0)}}2=\frac{(2p)^n}{2}
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922337 Posté le 24-06-08 à 12:44
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Pardon, il faut remplacer l'avant-dernière ligne par:


4$\Large{\mathbb{P}(Y_n=1)-\Large{\mathbb{P}(Y_n=-1)=\bigsum_{0\le k\le n}\;(-1)^k\(n\\k\)p^{n}=p^n\bigsum_{0\le k\le n}\;(-1)^k\(n\\k\)=p^n(-1+1)^n=0.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922369 Posté le 24-06-08 à 13:16
Posté par ProfilTigweg Tigweg

De plus, dans la première ligne, après le symbole d'intersection, il ne faut pas s'arrêter à l_n mais à l_{2k} bien sûr, tu auras rectifié tout seul j'imagine!

C'est:  4$(\forall%20l\notin%20\{l_1;...;l_{2k}\},%20X_l=1)
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922376 Posté le 24-06-08 à 13:22
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Oui, je viens de l'écrire sur mon papier!
Par contre, j'ai vraiment du mal à comprendre un truc :

Moi je montre que \Large{\mathbb{P}(Y_n=0)=1-(2p)^n en admettant comme démontré le fait que \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\mathbb{P}(Y_n=-1)=\frac{(2p)^n}{2}.
Toi, tu sembles faire l'inverse!

Y'a pas un petit souci la ?
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922384 Posté le 24-06-08 à 13:30
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Lol en effet je n'avais pas lu comment tu démontrais \Large{\mathbb{P}(Y_n=0)=1-(2p)^n

En fait c'est immédiat, car Yn est différent de 0 ssi chaque Xk est différent de 0, ce qui se réalise avec la proba 2p à chaque fois.On conclut par indépendance des Xk, puis en observant que "Yn = 0" est le contraire de l'événement dont on vient de calculer la probabilité
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922393 Posté le 24-06-08 à 13:35
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

J'ai un petit bug sur le calcul de \Large{\mathbb{P}((\forall\,1\le i\le 2k\,,X_{l_i}=-1)\Bigcap (\forall\,l\notin\{l_1,\cdots,l_n\}\,,X_{l}=1)).


J'obtiens :
\Large{\mathbb{P}((\forall\,1\le i\le 2k\,,X_{l_i}=-1)\Bigcap (\forall\,l\notin\{l_1,\cdots,l_n\}\,,X_{l}=1))=\mathbb{P}(\forall\,1\le i\le 2k\,,X_{l_i}=-1)\mathbb{P}(\forall\,l\notin\{l_1,\cdots,l_n\}\,,X_{l}=1)

par indépendance.

Puis :
\Large{\mathbb{P}(\forall\,1\le i\le 2k\,,X_{l_i}=-1)=\mathbb{P}(\Bigcap_{i=1}^{2k}(X_{l_i}=-1))=\Bigprod_{i=1}^{2k}\mathbb{P}(X_{l_i}=-1)=\Bigprod_{i=1}^{2k}p=p^{2k}

toujours par indépance.

Mais dans ce calcul, je vois pas :
\Large{\mathbb{P}(\forall\,l\notin\{l_1,\cdots,l_n\}\,,X_{l}=1) comment faire pour retrouver \Large{p^{n-2k} !
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922394 Posté le 24-06-08 à 13:35
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je regarde ton post de 13:30, je vais manger je reviens!
Penses-tu pouvoir m'aider pour la suite ?
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922402 Posté le 24-06-08 à 13:41
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Comme je l'ai dit, il faut remplacer l_n par l_{2k}.

Il y a donc bien n-2k indices qui sont concernés, et on utilise une fois de plus l'indépendance, d'où le p^{n-2k}.

La suite de l'exercice me paraît très simple, vu qu'on dispose de la fonction de répartition de P.

A priori, il y a trois cas à considérer selon la position de p par rapport à 1/2 .
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922421 Posté le 24-06-08 à 14:07
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je ne trouve pas les "bonnes bornes".
\Large{\mathbb{P}(\forall\,l\notin\{l_1,\cdots,l_n\}\,,X_{l}=1)=\mathbb{P}(\Bigcap_{l=1}^{n-2k}(X_{l}=1))=\Bigprod_{l=1}^{n-2k}\mathbb{P}(X_{l}=1)=\Bigprod_{l=1}^{n-2k}p=p^{n-2k}

Est-ce cela ?
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922425 Posté le 24-06-08 à 14:14
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Oui, si tu veux.Il faut juste avoir conscience que les "bons" indices à retenir ne sont pas forcément les n-2k premiers, mais cela revient au même puisque tous les Xk suivent la même loi.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922509 Posté le 24-06-08 à 15:46
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Citation :
En fait c'est immédiat, car Yn est différent de 0 ssi chaque Xk est différent de 0, ce qui se réalise avec la proba 2p à chaque fois.On conclut par indépendance des Xk, puis en observant que "Yn = 0" est le contraire de l'événement dont on vient de calculer la probabilité

Très bien!

Citation :

Oui, si tu veux.Il faut juste avoir conscience que les "bons" indices à retenir ne sont pas forcément les n-2k premiers, mais cela revient au même puisque tous les Xk suivent la même loi.

D'accord!


J'arrive à bien saisir \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\Bigsum_{0\le 2k\le n}\begin{pmatrix}n\\2k\end{pmatrix}p^n et \Large{\mathbb{P}(Y_n=-1)=\Bigsum_{0\le 2k+1\le n}\begin{pmatrix}n\\2k+1\end{pmatrix}p^n.

Mais je ne vois pas comment calculer \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)-\mathbb{P}(Y_n=-1), en particulier, montrer que c'est égal à \Large{\Bigsum_{k=0}^n(-1)^k\(n\\k\)p^{n}.

D'ailleurs, ceci permet juste de montrer que \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\mathbb{P}(Y_n=-1), c'est bien ça ?

Car je ne vois pas le lien logique qui permet d'affirmer que \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\frac{1-\mathbb{P}(Y_n=0)}{2}.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922518 Posté le 24-06-08 à 16:01
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Non c'est bon, oublie ma dernière question !
Par contre je fais toujours un blocage sur le fait que \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)-\mathbb{P}(Y_n=-1)=\Bigsum_{k=0}^n(-1)^k\(n\\k\)p^{n} !
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922525 Posté le 24-06-08 à 16:05
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Cela s'explique-t-il par le fait que \Large{\Bigsum_{0\le 2k\le n}\begin{pmatrix}n\\2k\end{pmatrix}\,\,-\,\,\Large{\Bigsum_{0\le 2k+1\le n}\begin{pmatrix}n\\2k+1\end{pmatrix}\,=\,\Large{\Bigsum_{0\le k\le n}(-1)^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} ?
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922551 Posté le 24-06-08 à 16:32
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Oui, ce n'est rien de plus que ça!
Tu peux sortir le p^n de la somme!
Ce n'est qu'une question de parité de k.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922555 Posté le 24-06-08 à 16:34
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok!

Par contre, lorsque tu dis on connait la fonction de répartition de P, c'est plutôt celle de \Large{Y_n} non?

Faut-il la chercher ?
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922565 Posté le 24-06-08 à 16:37
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Oui, en effet.

Je suis désolé, je dois y aller.La suite n'est pas difficile; si tu le souhaites, propose quelque chose et je te dirai ce que j'en pense à mon retour.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922573 Posté le 24-06-08 à 16:40
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je bloque dès le début en fait car j'obtiens quelque chose du type \Large{F_{Y_n}(y)=\mathbb{P}(\Bigcap_{k=1}^nX_k\le y)} et je me demande si l'on peut écrire que ceci est égale à \Large{\Bigcap_{k=1}^n\mathbb{P}(X_k\le y)}.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922576 Posté le 24-06-08 à 16:41
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Citation :
Je suis désolé, je dois y aller

Ok, a bientôt!
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922696 Posté le 24-06-08 à 18:48
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Voici ce que je trouve, sans grande conviction :

\Large{F_{Y_n}(y)=(F_X(y))^n=exp(-n\lambda)(\Bigsum_{i=0}^y\frac{\lambda^i}{i!})^n
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922703 Posté le 24-06-08 à 18:53
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Non mais il est inutile de revenir aux Xk maintenant qu'on connaît la loi de Yn .

Si y est supérieur ou égal à 1, Fn(y)=1.

Si y est dans [0;1[, F_n(y) = \mathbb{P}(Y_n=0)+\mathbb{P}(Y_n=-1)=...

etc...
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922711 Posté le 24-06-08 à 18:57
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Juste un truc, dans le cas discret, il ne suffit pas de voir quand avons-nous \Large{\lim_{n\to +\infty} \, \mathbb{P}(Y_n=k)=\mathbb{P}(Y=k) pour la convergence en loi ?


Je trouve que :
\Large{\lim_{n\to +\infty} \, \mathbb{P}(Y_n=0)=1
\Large{\lim_{n\to +\infty} \, \mathbb{P}(Y_n=1)=0
\Large{\lim_{n\to +\infty} \, \mathbb{P}(Y_n=-1)=0
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922717 Posté le 24-06-08 à 19:03
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Donc je trouve :


\Large{F_{Y_n}(y)=\{0\,si\,0<y\\1-\frac{(2p)^n}{2}\,si\,0\le y<1\\1\,sinon

qui tend vers 0 si \Large{0<y, vers 1 si \Large{0\le y.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922723 Posté le 24-06-08 à 19:14
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Euh ...

Si \Large{y<-1}, \Large{F_{Y_n}(y)=0.

Si \Large{y\in [-1,0[\Bigcup [1,+\infty[, \Large{F_{Y_n}(y)=\frac{(2p)^n}{2}.

Si \Large{0\le y<1}, \Large{F_{Y_n}(y)=1-(2p)^n.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922736 Posté le 24-06-08 à 19:23
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Citation :
Juste un truc, dans le cas discret, il ne suffit pas de voir


->Si, tout-à-fait.

Je ne suis pas d'accord avec tes trois cas, ni avec tes limites.

y peut être négatif, et sa position par rapport à -1 entre dans la disjonction de cas.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922739 Posté le 24-06-08 à 19:24
Posté par ProfilTigweg Tigweg

PArdon, je n'avais pas vu ton dernier post.

Ton deuxième cas est faux, si y est supérieur à 1, la valeur de Fn augmente strictement.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922743 Posté le 24-06-08 à 19:26
Posté par ProfilTigweg Tigweg

D'ailleurs ton troisième cas est faux aussi, il faut additionner \mathbb{P}(Y_n=0) et \mathbb{P}(Y_n=-1)
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922748 Posté le 24-06-08 à 19:27
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Si \Large{1\le y} n'a-t-on pas que \Large{F_{Y_n}(y)=\mathbb{P}(Y_n\le y)=\mathbb{P}(Y_n=1) ?
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922753 Posté le 24-06-08 à 19:31
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Non puisque si Yn = 0 ou -1, on aura encore Yn < y dans ce cas
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922755 Posté le 24-06-08 à 19:32
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok, j'ai saisi :


Si \Large{y<-1} alors \Large{F_{Y_n}(y)=0.

Si \Large{-1\le y<0} alors \Large{F_{Y_n}(y)=\frac{(2p)^n}{2}.

Si \Large{0\le y<1} alors \Large{F_{Y_n}(y)=1-\frac{(2p)^n}{2}.

Si \Large{1\le y} alors \Large{F_{Y_n}(y)=1.


Je pense que c'est bon !
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922759 Posté le 24-06-08 à 19:34
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Parfait!
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922760 Posté le 24-06-08 à 19:34
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Par suite, si \Large{y\in ]-\infty,0[ alors \Large{\lim_{n\to +\infty}\, F_{Y_n}(y)=0 et si \Large{y\in [0,+\infty[ alors \Large{\lim_{n\to +\infty}\, F_{Y_n}(y)=1.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922761 Posté le 24-06-08 à 19:36
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Ca c'est faux par contre, ça dépend de p!
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922762 Posté le 24-06-08 à 19:37
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Dans mon calcul de limite, je tiens compte du fait que \Large{p\in%20[0,\frac{1}{2}]. Par contre, je ne vois pas la loi dont la fonction de répartition est donnée par :

\Large{F_{Y}(y)=\{0\,si\, y\in ]-\infty,0[\\1\,si\, y\in [0,+\infty[
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922769 Posté le 24-06-08 à 19:44
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Puisque \Large{p\in%20[0,\frac{1}{2}] n'a-t-on pas que \Large{(2p)^n tend vers 0 à l'infini ?
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922775 Posté le 24-06-08 à 19:50
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Citation :
Dans mon calcul de limite, je tiens compte du fait que


->Tu ne l'as pas dit!

Par contre, le cas p=1/2 est à considérer à part.

La loi dont la fonction de répartition est celle que tu donnes est celle d'une v.a. qui vaut presque sûrement 0.

Mais je ne pense pas qu'on te demande davantage que la formule écrite.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922792 Posté le 24-06-08 à 20:15
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Donc
-Si \Large{p\in [0,\frac{1}{2}[ alors \Large{Y_n} converge en loi vers la loi dont la fonction de répartition est donnée par \Large{F_{Y}(y)=\{0\,si\,%20y\in%20]-\infty,0[\\1\,si\,%20y\in%20[0,+\infty[.

-Si \Large{p=\frac{1}{2}} alors \Large{F_{Y_n}(y)=\{0\, si\, y<-1\\\frac{1}{2}\, si\, -1\le y<1\\1 \, sinon qui converge en loi vers la loi dont la fonction de répartition est donnée par \Large{F_{Y}(y)=\{0\, si\, y<-1\\\frac{1}{2}\, si\, -1\le y<1\\1 \, sinon !
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922795 Posté le 24-06-08 à 20:19
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Exactement!
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922799 Posté le 24-06-08 à 20:21
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok chef!
Pour le convergence en probabilité, je doit faire l'étude de la limite de \Large{\mathbb{P}(|Y_n-Y|\ge \epsilon) c'est bien ça ?
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922801 Posté le 24-06-08 à 20:25
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Oui, mais il est inutile de le faire si p est supérieur à 1/2 car dans ce cas Yn ne peut pas converger en probabilité (sinon elle convergerait en loi).

De plus si p < 1/2 alors, comme on l'a vu, Yn converge en loi vers une va ps constante, donc converge en probabilité.

Il ne reste donc plus à examiner que le cas p=1/2.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922802 Posté le 24-06-08 à 20:26
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Cela me paraît quand même bien long!
En effet, je trouve que \Large{\mathbb{P}(|Y_n-Y|\ge%20\epsilon)=1-F_{Y_n}(Y+\epsilon)+F_{Y_n}(Y-\epsilon).

Il y a beaucoup de cas!
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922805 Posté le 24-06-08 à 20:30
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Non mais si p=1/2 c'est tout de même très simple!
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922809 Posté le 24-06-08 à 20:35
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ah d'accord!
Donc avant on peut rajouter que si \Large{p> \frac{1}{2}} alors \Large{Y_n} ne converge pas en loi, même si dans l'énoncé p est supposé être dans \Large{[0,\frac{1}{2}]}


Si \Large{p=\frac{1}{2}} j'ai regardé les deux fonctions :



\Large{F_{Y_n}(Y+\epsilon)=\{0\, si\, Y<\epsilon-1\\\frac{1}{2}\, si\, \epsilon-1\le Y<\epsilon+1\\1\, sinon

F_{Y_n}(Y-\epsilon)=\{0\, si\, Y<-\epsilon-1\\\frac{1}{2}\, si\, -\epsilon-1\le Y<-\epsilon+1\\1\, sinon

Je trouve pas la logique la dedans!
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922813 Posté le 24-06-08 à 20:38
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Lol je viens de relire ton énoncé, et en effet le fait que p \le \fr 12 m'avait échappé!
Cela dit oui, tu peux rajouter ce qu'on a dit, ça fera "classe"!

Sinon tu te compliques bien la vie je trouve!

Et d'abord, qu'appelles-tu Y ?
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922817 Posté le 24-06-08 à 20:41
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Citation :
Cela dit oui, tu peux rajouter ce qu'on a dit, ça fera "classe"!




J'appelle \Large{Y} la v.a, éventuelle, vers laquelle \Large{Y_n} converge en probabilité!
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922821 Posté le 24-06-08 à 20:44
Posté par ProfilTigweg Tigweg

N'est-elle pas évidente?

Reprends les résultats de la question 1 en remplaçant p par 1/2.
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922829 Posté le 24-06-08 à 20:52
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Euh, je vois ou veux-tu en venir!

Avec \Large{p=\frac{1}{2}} j'ai :

\Large{\mathbb{P}(Y_n=0)=1
\Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\frac{1}{2}
\Large{\mathbb{P}(Y_n=-1)=\frac{1}{2}

On peut trouver ainsi vers quoi converge en loi la v.a. \Large{Y_n} ?
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922831 Posté le 24-06-08 à 20:53
Posté par ProfilTigweg Tigweg

En probabilité, même!
re : Convergence en loi et en probabilité#msg1922834 Posté le 24-06-08 à 20:56
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Non, je crois que je dis une bêtise en fait.On n'est pas sûr des w en lesquels Yn va valoir 1 ou -1 lorsque n tend vers l'infini...

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