Bonjour
Je bloque sur une question d'un DM
Auparavant on a étudié la fonction f : *, zf(z)=z+1/z

1°) On sait
- qu'elle est surjective
- que pour U={z*||z|=1} f(U)=V=[-2,2]
- que f^-1(V)=U
- que pour D={z*||z|<1} et H=={z*||z|>1}, g : D\V,
zz+1/z et h : H\V, zz+1/z sont des bijections

2°) Avec une suite de polynômes définies par P₀=2, P₁=X et P_n+2=XPn_n+1-P_n
- z*, f(zⁿ)=P_n(f(z))
- que Pn est l'unique polynôme vérifiant cette égalité
- que Pn est de degré n et pair si n est pair et impair si n est impair

3°) On considère pour tout n entier > 2 l'équation algébrique dans : (E_n)   P_n(x)=b
- les solutions de (E_n) sont x_n,k=2cos(/2n+k/n) avec k[|0,n-1|]
- pour k[|0,n-2|], x_n,k>x_n-1,k>x_n,k+1

On demande en utilisant 3°) de montrer que si (En) admet une racine double, alors b[-2,2]
J'avais pensé à utiliser le fait que si (En) admet une racine double
x_n,k=x_n-1,k=x_n,k+1 jusqu'à ce que je me rende compte que l'inégalité précédente n'est démontrée que pour b=0
Vers où pourrais-je orienter mes recherches ?
Merci