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Niveau Licence Maths 1e ann
pgcd
Posté par thsma
Bonjour,
J'ai quelques petits soucis sur cet exo. Si vous pouvez m'éclairer.
1) Soit n 
. On pose a = 2n + 3 et b = 5n - 2. Calculer 5a - 2b. En déduire le pgcd de a et b selon les valeurs de n.
2) Déterminer de la même manière, le pgcd de 2n - 1 et 9n + 4.
Pour la 1), 5a - 2b = 19. 19 est un nombre premier donc pgcd (a,b) = 1. Je pense que ça doit être quelque chose dans ce genre là mais je ne vois pas comment expliquer de 5a - 2b = 19 à pgcd(a,b) = 1
Pour la 2), j'ai calculé 2b - 9a avec a = 2n - 1 et b = 9n + 4.
Donc 2b - 9a = 17. Idem 17 est premier donc pgcd(a,b) = 1 Mais même souci que la 1).
Merci de vos réponses.
1- si d est pgcd de a et b alors tu as u et v tels que au+bv=d (théorème de Bezout)
ici on a 5a-2b=19, donc soit pgcd(a,b)|19, soit 19 est le pgcd de (a,b)
comme on voit tout de suite que 19 n'est pas le pgcd et que le seul diviseur de 19 est 1, a et b sont premiers entre eux pour toutes valeurs de n
2-idem
Bonjour, thsma
L'égalité 5a-2b=19 ne montre pas que le pgcd(a,b) est égal à 1, mais plutôt que le pgcd de a et b est un diviseur de 19. Donc, le pgcd de a et b vaut 1 ou 19.
Examinons quand le pgcd de a et b est égal à 19. Dans ce cas, il est nécessaire que a soit multiple de 19, donc que 2n+3 soit multiple de 19, donc que
2n+3 = 19k
2n = 19k -3
2n = 19(k-1) +16 raisonner en congruence
2n = 38p + 16 k-1 est obligatoirement pair
n=19p +8
Lorsque n=19p+8 b=5n-2=95p+38 multiple de 19
Donc, a et b sont multiples de 19 et leur pgcd vaut 19
Dans tous les autres cas, où n n'est pas congru à 8 modulo 19, a et b sont premiers entre eux, et leur pgcd vaut 1