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Niveau Maths sup
Racine nièmes
Posté par jojo403
Bonjour, je bloque sur un exercice concernant les racines n-ièmes.
Voici l'énoncé :
Déterminer les racines quatrième de z = 8a² - (1+a²)² + 4a(1-a²)i
J'ai déjà effectuer ce genre de calcul pour déterminer les racines du second degré, c'est à dire en calculant le discriminant puis en posant grand téta et petit téta au carré, et ainsi trouvé les racines de l'équation. Seulement pour les racines quatrième je ne vois pas du tout comment démarrer.
Merci d'avance.
Merci pour vos réponses, je pense pouvoir me débrouiller avec ça maintenant.
Et au final je dois trouver 4 racines c'est bien ça ?
Désolé d'insister, mais en faite je suis bloqué dès le début. Car je ne trouve pas la même identité remarquable avec les coefficients binomiaux et de plus, même si j'arrivais à : -(a+i)^4, je ne vois pas comment déterminer ses racines quatrièmes. Quelqu'un pourrait t-il développer un peu, pour que je puisse vraiment bien prendre en main l'exercice.
Encore merci d'avance.
Salut Jojo,
8a² - (1+a²)² + 4a(1-a²)i = 8a² - (1 + a^4 + 2a²) + i(4a-4a^3)
= -a^4 + 6a² + 4a*i - 4a^3*i - 1
= -(a^4 - 6a² - 4a*i + 4a^3*i + 1) => remplace les (-) par des i²:
= -(a^4 + 4a*i^3 + 6a²*i² + 4a^3*i + i^4) ici on reconnaît bien l'écriture de -(a+i)^4
pose -1 = exp(i.pi) et donc -(a+i)^4 = [exp(i.pi/4)*(a+i)]^4
Tu as déja une racine quatrième. Les autres se déduisent de celle-ci.
Oh merci ! J'ai tout compris, je n'arrivais pas à m'en sortir mais en faite il suffisait de remplacer les (-) par des i². Merci beaucoup.
Pour la suite je pose -1 = exp(i
+ 2k) et mes racines quatrièmes seront celles pour k = 0, 1 ,2, 3.
Est-ce bien cela ? (Pour que j'évite de me tromper arrivé à la fin de l'exercice 
)
En tout cas, merci encore.