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Correction d un exercice de probabilités


terminaleCorrection d un exercice de probabilités

#msg190022#msg190022 Posté le 18-04-05 à 23:38
Posté par Jenni60 (invité)

Bonsoir,

J'aimerais savoir si ce que j'ai fait est juste. Ce serait très gentil de votre part de me répondre, car je ne suis vraiment pas sûre de mes réponses. Merci d'avance pour votre aide.
Bonne soirée!

Le laboratoire de physique d'un lycée dispose d'1 parc d'oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d'1 oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la "loi de durée de vie sans vieillissement" (ou encore loi exponentielle de paramètre lambda avec lambda>0)
Ttes les proba seront données à 10^-3 près.

1) Sachant que p(X>10)=0,286, montrer qu'1 valeur approchée à 10^-3 de lambda est 0,125.
On prendra 0,125 pour lambda ds la suite de l'exo.
--> J'ai bien trouvé lambda = 0,125

2)Calculer la proba qu'1 oscillo du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.
--> J'ai trouvé 0,060 est-ce juste? j'ai fait p[0;1/2[ (car 6 mois c'est la moitié d'une année)

3) Sachant qu'1 appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la proba qu'il ait une durée de vie supérieure à 10 ans?
--> Je trouve 0,453. C'est bon?

4) On considère que la durée de vie d'1 oscillo est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du labo décide de commander 15 oscillo. Quelle est la proba qu'au moins 1 oscillo ait une durée de vie supérieure à 10 ans?
--> J'ai calculé p(X>10)=1-p(0<=X<=10) et j'ai trouvé 0,286. Ensuite, j'ai élevé 0,286 à la puissance 15 pour avoir la proba que tous les oscillos fonctionnent plus de 10 ans.
mais comme on me demande la proba qu'au moins 1 des oscillos fonctionne plus de 10 ans, j'ai fait 1-(0,286)^15 et je trouve 0,999.


5) Combien l'établissement devrait-il acheter d'oscillo pour que la proba qu'au moins l'1 d'entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999.
--> J'ai trouvé n>55 (J'ai résolu l'équation 1-(e^-lambda*10)>0,999 )
re : Correction d un exercice de probabilités#msg190079#msg190079 Posté le 19-04-05 à 10:17
Posté par Profillyonnais lyonnais

salut Jenni60 :

1°) p(X>10)=0,286 et X suit une loi exponentielle de paramètre > 0 , donc :

\rm 1-\int_0^{10} \lambda e^{-\lambda t} dt=0,286
1-(1-e^{-10 \lambda})=0,286
e^{-10 \lambda}=0,286
-10\lambda = ln(0,286)

\lambda = -\frac{1}{10}ln(0,286)

\blue \fbox{\lambda=0,125} -> d'accord avec toi !

2°) La probabilité qu'un oscilloscope ait une durée de vie inférieure à 6 mois est p(0 \le X < \frac{1}{2}). Or :

3$ \rm p(0 \le X < \frac{1}{2})=\int_0^{\frac{1}{2}} \lambda e^{-\lambda t} dt = [-e^{-\lambda t}]_0^{\frac{1}{2}}=-e^{-\frac{\lambda}{2}}+1

2$ \red \rm \fbox{p(0 \le X < \frac{1}{2})=0,061} -> donc presque d'accord avec toi ...

3°) Là, je suis pas d'accord ...

on nous demande de calculer p_{X>8}(X>10) , c'est à dire P(X>2) , car X suit une loi de durée de vie sans vieillissement.

\rm p(X>2)=1-\int_0^{2} \lambda e^{-\lambda t} dt = 1-(1-e^{-2\lambda}) = e^{-2\lambda}

\rm \green \fbox{p(X>2)=0,779}

4°) On sait que la probabilité qu'un appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est p(X>10)=0,286
Puisque les durées de vie des oscilloscopes sont indépendantes, la variable aléatoire Y donnant le nombre d'oscilloscopes ( parmi les 15 commandés), ayant une durée de vie supérieure à 10 ans, suit une loi binomiale tel que B(15;0,286)

donc p(Y=k)=\(\array{15\\k}\)\time 0,286^k \time 0,714^{15-k}

La probabilité qu'au moins un oscilloscope est une durée de vie supérieure à 10 ans est :

P(Y \ge 1)=1-p(Y=0)=1-\(\array{15\\0}\)\time 0,286^0 \time 0,714^{15}

\blue \fbox{P(Y \ge 1)=0,994}

5°) Soit n le nombre d'oscilloscopes achetés. La probabilité qu'au moins un d'entre eux fonctionne plus de 10 ans est 1-0,714^n. Il nous faut donc résoudre :

1-0,714^n>0,999
0,714^n<\frac{1}{1000}
ln(0,714^n)<-ln(1000)
nln(0,714)<-ln(1000)   Or ln(0,714) < 0   donc :

\rm n > -\frac{ln(1000)}{ln(0,714)} > 20,51

donc \red \fbox{n \ge 21}

L'établissement doit acheter au moins 21 oscilloscopes.


Voila, je crois que j'ai fait le tour. N'hésite pas à poser des questions ...

@+
lyonnnais



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re : Correction d un exercice de probabilités#msg190092#msg190092 Posté le 19-04-05 à 10:26
Posté par Jenni60 (invité)

Merci beaucoup!

Je ne comprends pas pour la question 4, pourquoi p(Y1) ?
re : Correction d un exercice de probabilités#msg190095#msg190095 Posté le 19-04-05 à 10:31
Posté par Profillyonnais lyonnais

C'est p(y \ge 1) , parce qu'on nous demande quelle est la probabilité qu'au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans.

Donc ça peut être 1 - 2 - 3 - ... 15

En fait, tout sauf 0 !

Tu comprends mieux ?
re : Correction d un exercice de probabilités#msg190115#msg190115 Posté le 19-04-05 à 10:56
Posté par Jenni60 (invité)

Oui, merci d'être aussi rapide!
Bonne journée!
re : Correction d un exercice de probabilités#msg190124#msg190124 Posté le 19-04-05 à 11:02
Posté par Profillyonnais lyonnais

de rien

N'hésites pas si tu as d'autres questions à poser ...

@+
lyonnais
re : Correction d un exercice de probabilités#msg2449509#msg2449509 Posté le 16-05-09 à 11:34
Posté par Profilcharter934 charter934

bonjour
a la question on me demande pour deux oscilloscopes que faire?

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