Monsieur le Professeur de Mathématique,
Je viens de découvrir l'exercice que vous avez proposé dans un devoir à la maison aux élèves de 4ème C :
« Trouver le chiffre des unités du nombre 2013^2013 »
Alors oui, l'exercice est plutôt amusant et correspond à une évidente actualité…
Bien sûr, la divisibilité par 3 du nombre 2013 n'est pas très difficile à trouver [1ère difficulté].
La décomposition : 2013^2013= (671^2013) x (3^2013)
qui est (peut-être ?) au programme de 4ème est déjà nettement moins évidente [2ème difficulté].
En revanche, la démonstration (par récurrence) du théorème qui énonce que :
« la puissance nième d'un nombre dont le chiffre des unités est 1 donne un nombre dont le chiffre des unités est 1 »
me semble difficilement à la portée de vos élèves [3ème difficulté].
Idem sur le fait que :
« le produit d'un nombre dont le chiffre des unités est 1 par un nombre dont le chiffre des unités est n donne un nombre dont le chiffre des unités est n » [4ème difficulté].
Cerise sur le gâteau, il fallait découvrir, ce qui n'est pas trivial en soi puisqu'aucune indication était fournie, que le chiffre des unités des puissances nième de 3 s'ordonnent suivant une suite périodique (1 ; 3 ; 9 ; 7) :
Et d'en conclure que le résultat demandé était 3.
[5ème, et même 6ème difficulté car il ne s'agit pas seulement de trouver la suite, mais aussi d'affecter la bonne valeur à 3^2013 (reste de la division par 4)].
S'il est raisonnable de penser que la plupart des élèves de 4ème peuvent comprendre chaque étape de cette démonstration, je pense toutefois qu'aucun d'eux n'est capable de faire le cheminement pour trouver seul la démonstration.
Car cette démonstration, me semble-t-il, est plutôt d'un niveau de Terminale que de 4ème
(je fais ici référence à mes propres souvenirs, où un cours d'arithmétique était autrefois au programme de Terminale C).
Il y aura donc :
-les élèves qui n'auront pas répondu ou trouver un résultat faux parce qu'ils ne sont pas allés au bout de la démonstration,
-les élèves qui auront donné une réponse (juste ou fausse) au hasard
(avec un peu de réflexion il y a une chance sur 4 de trouver le bon résultat),
-les élèves qui se seront fait aider de leurs proches (parents, frères ou sœurs, …) ; ce qui évidemment n'est pas la façon la plus souhaitable de faire un devoir maison et qui crée une inégalité entre les élèves…
-ou plus fréquemment, les élèves qui auront interrogé les forums mathématiques sur internet (ce qui n'est également pas la façon la plus souhaitable de faire un DM).
Quoiqu'il en soit, je ne vois pas bien l'intérêt de donner un tel exercice à des élèves de 4ème.
NB : j'interviens pour ma part dans des formations en enseignement supérieur (école d'ingénieur, Master…) et je sais, par expérience, que le cumul de 3 difficultés sur une même question laisse sur le bord du chemin 90% des étudiants.
Alors que penser de 6 difficultés successives ?
Veuillez agréer, Monsieur le Professeur, mes salutations arithméticiennes.