Bonsoir Claire.
Entre le 13 janvier et le 13 de chacun des autres mois, il y a un certain nombre de jours, donc un certain nombre de semaines complètes plus un certain nombre de jours; ce dernier nombre est le reste de la division par 7 du nombre de jours. En voici la liste par mois, le premier nombre dans le cas d'une année ordinaire, le deuxième nombre dans le cas d'une année bissextile.
Janvier : 0 0
Février : 3 3 (entre le 13 janvier et le 13 février, il y a 31 jours, puisque janvier à 31 jours, donc (7*4)+3 jours; on augmente les nombres précédents de 3
Mars : 3 4
Avril : 6 0 (entre le 13 mars et le 13 avril, il y a 31 = (7*4)+3 jours; on augmente les nombres précédents de 3; mais 4+3 = 7, quand le résultat est plus grand que 7, on le diminue de 7; par exemple, un nombre de semaines complètes plus 7 jours et également un autre nombre de semaines complètes plus 0 jours)
Mai : 1 2 (avril à 30 jours)
Juin : 4 5
Juillet : 6 0
Août : 2 3 (2 = 6+3-7)
Septembre : 5 6
Octobre : 0 1
Novembre : 3 4
Décembre : 5 6
Récapitulation :
année ordinaire : 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5
année bissextile : 0 3 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6
en mettant ces nombres dans l'ordre croissant :
année ordinaire : 0 0 1 2 3 3 3 4 5 5 6 6
année bissextile : 0 0 0 1 2 3 3 4 4 5 6 6
Dans l'un et l'autre cas, tous les nombres de 0 à 6 sont représenté. Quel que soit le jour de la semaine du 13 janvier, on aura un balayage des sept jours de la semaine, donc on rencontrera forcément au moins un vendredi.
Un nombre est représenté trois fois : 3 dans les années ordinaires et 0 dans les années bissextiles.
Dans une année ordinaire, il y a trois vendredi 13 si le 13 janvier est un mardi, car vendredi vient trois jours après mardi. En 2014, le 13 janvier était un lundi. Il sera un mardi en 2015 (après 52 semaines et 1 jour). Il y aura donc trois vendredi 13 en 2015.
Dans les années bissextiles, il y a trois vendredi 13 si le 13 janvier est lui-même un mardi. Nous sommes dans une période où toutes les années divisibles par 4 sont bissextiles. Entre les 13 janvier de deux années bissextiles consécutives, il y a (365*4)+1 = 1461 jours = 208 semaines plus cinq jours. On avance donc de cinq jours de semaines en passant d'une année bissextile à l'autre.
En 2012, le 13 janvier était précisément un vendredi. Il y a donc eu trois vendredi 13 en 2012.