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Calculer sin pi/8, et cos pi/8

Posté par tassadar (invité) 22-01-06 à 14:31

Bonjour j'ai un DM, dont le itre de l'exercice est le nom du topic.

Je bloque sur deux question, et serait-il possible d'avoir la reponse au plus vite... sous deux heures ? merci de m'aider !

la question est la suivante :

A l'aide des formules d'aditions, determiner cos 3/8  , ce qui donnerais : cos(/4  + cos/8) ...
Sachant que cos/8 =
((2+2)) /2
et sin/8 = ((2-2)) /2

en utilisant la formule cos(a+b) = cosa.cosb-sina.sinb ... Je devrais trouver le même resultat de sin/8, ce que je n'arrive pas à trouver en faisant le calcul, pourtant je met (2 /2 en facteur, mais je n'arrive plus après, les racine de racine de 2 m'embrouille... ça n'as pas l'air sorcier !


Ma deuxième question est de calculer sin/8 - sin3/8 - sin5/8 - sin7/8 ... Je ne tilte pas non plus... !


Merci de m'aider au plus vite s'il vous plait !! Merci d'avance !

Posté par tassadar (invité)re : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 14:49

HELP me please !

Posté par tassadar (invité)re : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 15:17

c'est si compliqué que ça la solution ? pour que personne ne m'aide ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 15:20

Bonjour,

Pour la première question, montre-nous clairement tes calculs, et on corrigera.

Pour la deuxième,
sin pi/8 - sin3pi/8 - sin5pi/8 - sin7pi/8,
remarque que : sin7pi/8=sin(pi-pi/8)=sin pi/8
et sin5pi/8=sin(pi-3pi/8)=sin3pi/8

Nicolas

Posté par tassadar (invité)re : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 15:40

Merci, pour le premier j'ai =

[(2/2)((2+2)/2] - [(2/2)((2-2)/2] =
(2/2)[((2+2)/2)((2-2)/2)]

=[(2/2) facteur de [2+(2) - 2 +(2)] /2

ce qui me donne

(2/2)((2)

ce qui n'est pas le resultat attendu...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 15:42

Tu as oublié les premières lignes.
Qu'est-ce qui est égal à tout cela ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 15:45

En une ligne :
\cos\frac{3\pi}{8}=\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8})=\sin\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

Posté par tassadar (invité)re : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 15:45

ben j'ai  cos/4 * cos/8 - sin /4 * sin /8 ; qui est la formule d'adition ; et la j'ai mis le developpement qui suis... en remplacant les cos et sin, par leurs valzeurs

Posté par tassadar (invité)re : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 15:46

oui mais je dois utiliser la forumule d'adition, c'est ce qui est marqué sur l'enoncé...

" A l'aide des formules d'aditions, determiner cos 3/8

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 15:49

OK.
A 15h40, dans le passage de la 1ère à la 2ème ligne, la factorisation me semble fausse.

CA-CB = C(A-B) et non C*A*B

Posté par tassadar (invité)re : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 15:52

oui , j'ai oublier le signe - entre les deux  A et B en tapant le calcul au clavier, mais sinon la suite du calcul suuis avec le -  

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 15:58

Je ne comprends pas la suite du calcul.

Posté par tassadar (invité)re : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:00

et ben j'ai mis l'ensemble de droite, sur 2, et j'ai individualiser les racine en fait...  c'est a dire que ( 2 - 2 ) je l'ai ecrit = 2 - ( 2 )

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:02

J'utilise une formule d'addition :
\cos\frac{3\pi}{8}=\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8})=\cos\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{8}=\sin\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:03

As-tu écrit à 16h00 que :
\sqrt{2-\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\sqrt{\sqrt{2}} ?

Posté par tassadar (invité)re : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:04

mais en fait je crois que j'ai cherché les complication, car j'aurtais du decomposer 3pi/8, comme toi, c'est a dire  pi/2 - pi/8 , au lieu de pi/4 + pi/8 ; je vais refaire le calcul, qui devrais etre plus simple car les valeur des cosinus et sinus de pi/2 sont plus simple !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:05

Regarde mon message de 16h03.

Posté par tassadar (invité)re : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:06

Ben oui car je voyais aps autrement comme avancer... et quand on est bloquer... ben on cherche le petit trou de souris ... ^^

Posté par tassadar (invité)re : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:07

oui tu as raison, c'est plus simple de decomposer 3pi / 8 comme toi tu l'as fait, c'est beaucoup plus simple !! merci beaucoup ! maintenat je vais essayer la dernière question !

Posté par tassadar (invité)re : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:09

Je me sens géné de dire " tu as raison " à un ingenieur....

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:09

Attention :
\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}
est ARCHI-FAUX.

Posté par tassadar (invité)re : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:11

Une chose est sûr, je m'en souviendrai :

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:18

Si tu veux absolument passer par \frac{\pi}{4} :

\cos\frac{3\pi}{8}
=\cos(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{8})
=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{8}
=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})
=\frac{\sqrt{2}}{2}.A
en notant A=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

A^2=(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})^2
= \frac{2+\sqrt{2}}{4}-2\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}+\frac{2-\sqrt{2}}{4}
= \frac{2+\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}}{2}+\frac{2-\sqrt{2}}{4}
= \frac{2+\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2-\sqrt{2}}{4}
=\frac{2-\sqrt{2}}{2}
Or A est clairement positif (un nombre diminué d'un nombre plus petit) donc :
A=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}

Et finalement :
\cos\frac{3\pi}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2}.A
= \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}
=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par tassadar (invité)re : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:21

C'est quelque chose que je n'aurais pas pensais à faire...
mais bravo... et merci beaucoup !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:23

Troisième méthode :

\cos^2x = \frac{1+\cos 2x}{2}
donc :
|\cos x| = \sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}}

On prend x=\frac{3\pi}{8}
Comme on sait que \cos\frac{3\pi}{8} est positif :
\cos\frac{3\pi}{8}=|\cos\frac{3\pi}{8}|=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{3\pi}{4}}{2}}
= \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:23

Je t'en prie.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 22-01-06 à 16:36

Remarque ; la troisième méthode permet de calculer \cos\frac{3\pi}{8} sans connaître \cos\frac{\pi}{8}

Posté par
gaiare : Calculer sin pi/8, et cos pi/8 11-02-10 à 16:19

dans mon exo il me demande de montrer que :

sin/8 - sin3/8 - sin5/8 - sin7/8=0


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