exercice 1
Quatre cubes ont respectivement pour arêtes, mesurées en centimètres,
, où
est
un nombre entier naturel.
Déterminer
pour que le contenu des trois
cubes d'arêtes
remplisse
exactement le cube d'arête
.
exercice 2
Soit une fonction polynôme P et soit
(P) la fonction polynôme : x
P(x + 1) - P(x).
1. Calculer
(P) lorsque P est un polynôme de degré 0, de degré 1, de degré 2.
Comparer deg
(P ) et deg P sur ces trois cas particuliers.
Formuler un résultat général reliant deg
(P) et deg P si deg P
1 et démontrer ce résultat.
2. Montrer que
²(P) =
(
(P)) est la fonction polynôme :
x
P(x + 2) - 2P(x + 1) + P(x).
Donner une expression analogue pour
3(P) =
(
(
(P))).
3. Que peut-on dire de
3(P) lorsque deg P = 2, puis lorsque deg P = 3 ?
4. Montrer que pour toute fonction polynôme P de degré 3, on a pour tout réel x :
P(x + 4) + 6P(x + 2) + P(x) = 4[P(x + 3) + P(x + 1)].
5. Application.
Existe-t-il une fonction polynôme P de degré 3 vérifiant :
P(-3) = P(-1) = P(1)
P(-2) = P(0).
exercice 3
On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre.
exemple : f (x) = x
4 - 5x
3 + 6x² - 5x + 1
Le but de l'exercice est de résoudre l'équation (E) :
, pour tout
appartenant à
.
1. Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).
2. Montrer que si
est solution de (E), alors
est solution de (E).
3. Montrer que l'équation (E) est équivalente à l'équation (E') :
.
4. Calculer
.
5. En posant
, montrer que l'équation (E') se ramène à une équation du second degré.
6. Résoudre l'équation du second degré, puis en déduire les solutions de l'équation (E).
exercice 4
Soit P une fonction polynôme de degré n, n
1.
1. Montrer que si P a n racines distinctes a
1, .... a
n, alors il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x, on ait : P(x) = (x - a
1)(x - a
2)...(x - a
n) Q (x).
2. En déduire que toute fonction polynôme de degré n a au plus n racines distinctes.
3. La fonction f : x
sin x est-elle polynomiale ?
4. Existe-t-il une fonction polynôme P non nulle telle que pour tout x
0, x
5P
= P(x-1) et telle que 1 soit racine de P ?
Pour répondre à la question, on montrera que :
si P existe, deg P
5 ;
et
sont racines de P ;
il existe six racines distinctes de P.
exercice 5
On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre.
Exemple : f (x) = 3x
4 + x
3 - x² + x + 3.
Nous allons voir des méthodes permettant de résoudre l'équation f(x) = 0.
1. Degré 2. Soit : f: x
ax² + bx + a, avec a et b réels et a
0.
Résoudre l'équation f (x) = 0 et dans le cas où f admet deux racines distinctes. Démontrer que leur produit est égal à 1.
2. Degré 3. Soit : f: x
ax
3 + bx² + bx + a, avec a et b réels et a
0.
a) Montrer que 0 n'est pas racine de f et que si x
1 est racine de f, alors
est aussi racine de f.
b)
Trouver une solution évidente x
0 de l'équation f(x) = 0.
Pourquoi cette solution ne permet-elle pas d'en trouver une autre en utilisant la question a. ?
Utiliser x
0 pour factoriser f(x).
c) Application
f: x
7x
3 - 43x² - 43x + 7.
Résoudre l'équation f(x) = 0 et factoriser f(x).
3. Degré 4. Soit : f: x
ax
4 + bx
3 + cx² + bx + a, avec a, b et c réels et a
0.
a) Même question que
2. a).
b) Soit y = x +
.
Calculer y² et en déduire l'expression de g(x) =
en fonction de a, b, c, y et y² (ceci pour x
0).
Montrer que résoudre f (x) = 0 revient à résoudre successivement au plus trois équations du second degré.
Montrer que si b² < 4a(c - 2a), f(x) = 0 n'a pas de solution.
c) Application
Résoudre l'équation : 12x
4 + 11x
3 - 146x² + 11x + 12 = 0.
exercice 6
1. Trouver une fonction polynôme
, de degré
2, telle que
, , .
est-elle unique ? Si oui, pourquoi ? Sinon, trouver toutes les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 vérifiant les mêmes conditions.
2. Reprendre la question
1. pour les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 qui vérifient :
et .
3. Soient
,
,
,
quatre réels donnés.
Montrer que s'il existe une fonction polynôme
de degré 3 vérifiant
,
,
et
, alors elle est unique.
4. Montrer qu'il existe quatre réels
tels que la fonction polynôme
définie par :
soit la solution du problème.
Le polynôme obtenu s'appelle le
polynôme d'interpolation de Lagrange.
5. Généraliser les questions
3. et
4. en remplaçant
,
,
,
par des valeurs quelconques
deux à deux distinctes.
6. Généraliser à la recherche des fonctions polynômes
de degré
vérifiant
où
sont des réels donnés deux à deux distincts et où
sont des réels donnés quelconques.
exercice 7
Dossier d'Interpol (utiliser
l'exercice 6).
La société secrète du «troisième degré» se livre à de redoutables activités et ses membres se reconnaissent grâce à un code numérique qui change chaque mois suivant une formule connue d'eux seuls.
A Interpol, le commissaire Lagrange n'a pas beaucoup d'éléments pour son enquête : il sait seulement que les codes pour les 3
e, 5
e, 6
e et 8
e mois étaient respectivement 729, 1313, 901 et 1014.
Néanmoins, le nom de la société secrète lui donne une idée. Il va découvrir la formule, et connaissant le code pour le 10
e mois, il va s'infiltrer dans la société et arrêter peu à peu tous ses membres.
Quelle est la formule ? Quel est le code du 10
e mois ?
exercice 1
Le volume d'un cube de coté
a pour valeur
.
Additionnons les volumes des trois cubes ayant pour arêtes
et appelons V ce volume :
Calculons le volume V' du cube ayant pour arête
:
On recherche
tel que V = V', soit :
3 est une racine évidente de
, donc
s'écrit également
car l'écriture polynômiale est unique.
Développons
:
Identifions les coefficients :
a = 1
b - 3a = 0
b = 3
-3c = -9
c = 3
c - 3b = 3 - 3 × 3 = -6
On en déduit :
Factorisons
par la méthode du discriminant :
= b² - 4ac = 9 - 4 × 1 × 3 = -3
étant négatif,
est toujours du signe de a : positif. Ce polynôme n'admet pas de racine réelle.
(1) peut s'écrire :
,
ce qui équivaut à
.
Pour que le contenu des trois cubes d'arêtes
remplisse exactement le cube d'arête
, il faut que
soit égal à 3.
exercice 2
1. Si
est un polynôme de degré
, alors il est de la forme
où
est un réel non-nul.
Dans ce cas,
, c'est un polynôme de degré
(par convention)
Si
est de degré
, alors il est de la forme
où
et
sont des réels, et
Dans ce cas,
, c'est un polynôme de degré
car
Si
est de degré
, alors il est de la forme
où
sont des réels et
Alors :
est de degré 1
On remarque que si
alors
Démonstration :
Cliquez pour afficher Soit
un polynôme quelconque de degré
de coefficients
avec
On écrit alors
Puis on factorise par
et par
:
Puis on factorise l'identité remarquable
Tous les termes de l'expression sont des polynômes de degré
car ce sont des produits de deux polynômes dont la somme des degrés vaut
De plus, le coefficient de plus haut degré est toujours
(donc non-nul), la somme reste donc un polynôme de degré
Et de la même façon, on déduit que l'identité remarquable
se factorise en un polynôme de degré
Finalement,
Par somme,
est bien un polynôme de degré
2.
3.
Si
alors
et
Finalement, on déduit que
est le polynôme nul
Si
, alors de la même façon que précédemment on déduit que
, donc c'est un polynôme constant
4.
Si
est de degré
alors on sait que
est un polynôme constant
On en déduit que
est le polynôme nul
De plus,
On déduit alors que pour tout
ce qui est équivalent à
5.
Supposons qu'une fonction
polynôme de degré 3 vérifiant ces conditions existe. En utilisant la relation précédemment démontrée avec
, on déduit :
Et comme on a les égalités
et
, alors :
Et finalement,
.
Si on pose le polynôme
, alors
est aussi de degré 3
De plus,
admet comme racines
, etc.
Alors
est factorisable par
. Mais alors
est au moins de degré 5, ce qui est absurde
D'après le raisonnement par l'absurde, il n'existe pas de telle fonction polynôme
exercice 3
1.
0 n'est donc pas solution de l'équation (E).
2.
Or, x
0 est solution de l'équation (E), donc : x
04 - 5x
03 + 6x
0² - 5x
0 + 1 = 0.
Donc :
D'où : si x
0 est solution de (E), alors
est solution de (E).
3. x
4 - 5x
3 + 6x² - 5x + 1 = 0
équivaut à
4.
5. Posons
, donc :
équivaut à
X² - 2 - 5X + 6 = 0
X² - 5X + 4 = 0
6. Résolvons l'équation X^2 - 5X + 4 = 0.
L'équation admet donc deux solutions :
et
Or
, donc :
ou
équivaut à
soit : x² - x + 1 = 0
L'équation n'admet donc pas de solution dans
.
équivaut à
soit : x² - 4x + 1 = 0
L'équation n'admet donc deux solutions :
et
D'où :
.
exercice 5
1. = b
2 - 4a
2
Si
> 0 alors l'équation f(x) = 0 admet deux racines distinctes x' et x", avec
et
2.a. f(0) = a et a
0 ; donc 0 n'est pas solution de l'équation f(x) = 0.
Si x
1 est solutionde f(x) = 0 alors f(x
1) = 0 et x
1 0.
Donc
est solution de f(x) = 0.
2.b. ; donc -1 est solution de f(x) = 0.
On cherche à factoriser f(x) par (x+1) :
f(x) =a (x
3+1) + bx (x+1) = a (x+1)(x
2-x +1) + bx (x+1) = (x+1)(ax
2 - ax + a + bx) = (x+1)(ax
2 +(b-a)x + a)
ax
2 +(b-a)x + a est un polynôme de degré 2 car a est non nul.
= (b-a)
2 - 4a
2 = (b-a -2a)(b-a+2a) = (b-3a)(b+a)
Selon le signe de
, l'équation aura 1,2 ou 3 solutions.
--> RQ :
Attention en toute rigueur, il faudrait regarder si ces solutions sont égales à -1 ou pas.
2.c. f(x) =7x
3 - 43x
2 - 43x + 7 = (x+1) (7x
2 - 50x + 7)
Le discriminant de 7x
2 - 50x + 7 est égal à 48
2.
On en déduit ses deux racines : -7 et -1/7.
Les solutions de l?équation f(x) = 0 sont donc -1, -7 et -1/7.
2.a. f(0) = a et a
0 ; donc 0 n'est pas solution de l'équation f(x) = 0.
Si x
1 est solutionde f(x) = 0 alors f(x
1) = 0 et x
1 0.
Donc
est solution de f(x) = 0.
2.b. ; donc
.
Résoudre f(x)=0 revient à résoudre d'abord cette équation de degré 2 :
.
Puis, si elle a des solutions, pour chacune de ses solutions
, il reste à résoudre
L'équation
est équivalente à cette équation de degré 2 :
.
Le discriminant de l?équation
est b
2 - 4a(c-2a).
Il est négatif si b
2 < 4a(c-2a). L?équation f(x) = 0 n'a alors pas de solution.
3.c. f(x) = 12x
4 + 11x
3 -146x
2 + 11x + 12
On commence par résoudre 12y
2 + 11y -170 = 0.
On trouve 2 solutions réelles : -17/4 et 10/3.
On a ensuite à résoudre 2 équations de degré 2 :
x
2 - (-17/4)x + 1 =0
x
2 - (10/3)x + 1 =0
On en déduit que l'équation f(x) = 0 a quatre solutions réelles : 1/4, 4, 1/3 et 3.