Sujet de type Brevet

Remarque : Les notions suivantes sont nécessaires pour l'étude de ce sujet : développement, factorisation, identité remarquable, équations, le théorème de Thalès et sa réciproque et la trigonométrie

- Travaux numériques (12 points) -

Exercice 1

1. On donne A = $\text{[math]}$ . Ecrire A sous forme d’une fraction.
2. Ecrire B sous la forme $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des nombres entiers naturels, $\text{[math]}$ étant le plus petit possible :
B = $\text{[math]}$
3. Calculer l’expression suivante C et donner son écriture scientifique :
C = $\text{[math]}$

Exercice 2

On considère l’expression : D = (2 $\text{[math]}$ + 5)² - ( $\text{[math]}$ + 3)(2 $\text{[math]}$ + 5).
1. Développer et réduire D.
2. Factoriser D.
3. Résoudre l’équation : (2 $\text{[math]}$ + 5)( $\text{[math]}$ + 2) = 0.
4. Calculer l’expression D pour $\text{[math]}$ .

Exercice 3

Trois enfants se partagent une tablette de chocolat.
Le premier prend le tiers de la tablette et le second le quart.
Le troisième prend les deux cinquièmes de ce qui reste après que le premier et le second se soient servis.
1. Lequel de ces calculs permet de trouver la part du troisième ?
$\text{[math]}$
2. Effectuer le calcul choisi.

- Travaux géométriques - (12 points)

Exercice 1

La figure de cet exercice n’est pas réalisée en vraie grandeur. Elle n’est pas à reproduire.
L’unité est le centimètre.
Sur la figure ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Les droites (AD) et (BC) se coupent en E.
On donne : DE = 6 AE = 10 AB = 20 et BE = 16.

1. Calculer la distance CD.
2. Les points F et G appartiennent respectivement aux segments [BE] et [AB]. Ils vérifient : BF = 12,8 et BG = 16.
Montrer que les droites (FG) et (AE) sont parallèles.

Exercice 2

1. Effectuer avec soin les différentes constructions suivantes.
Tracer un demi-cercle ( $\text{[math]}$ ) de centre O et de diamètre [AB] sachant que AB = 10 cm.
Placer sur ( $\text{[math]}$ ) le point C tel que l’angle $\text{[math]}$ mesure 40°.
Tracer la tangente ( $\text{[math]}$ ) à ( $\text{[math]}$ ) en B. Celle-ci coupe la droite (AC) au point D.
2. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
3. Calculer les distances AC et BC (arrondir les valeurs au millimètre).
4. Déterminer les mesures exactes des angles $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ en justifiant vos réponses.
5. Calculer les distances CD, BD et AD (arrondir les valeurs au millimètre).

- Problème - (12 points)

ABC est un triangle tel que AB = 6, BC = 10 et $\text{[math]}$ = 120°.
La hauteur issue de A coupe la droite (BC) au point H.
La figure ci-dessous est donnée à titre indicatif, on ne demande pas de la reproduire.

1. a) Calculer la mesure de l’angle $\text{[math]}$ . En déduire BH.
  b) Calculer AH, puis l’aire du triangle ABC (on donnera les valeurs exactes).
  c) Prouver que AC = 14.
  d) Déterminer la mesure de l’angle $\text{[math]}$ (arrondir au degré).

2. M est un point quelconque du segment [BC]. On pose CM = $\text{[math]}$ . ( $\text{[math]}$ est compris entre 0 et 10).
La parallèle à (AB) passant par M coupe [AC] en N.
  a) Exprimer en fonction de $\text{[math]}$ les distances suivantes : NM et NC, puis BM et AN.
  b) Déduire de la question précédente que le périmètre P₁ du triangle NMC vaut $\text{[math]}$ et que le périmètre P₂ du trapèze ABMN vaut $\text{[math]}$ .
  c) En utilisant les questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de $\text{[math]}$ le triangle NMC et le trapèze ABMN ont le même périmètre. Quelle est alors la valeur de ce périmètre ?