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Niveau Licence Maths 1e ann
Analyse complexe
Posté par cafeadicto
Bonsoir,
Je cheerche à montrer l'équivalence entre les deux assertions suivantes:
(i) Il existe une constante a telle que f+a soit une détermination continue du logarithme
(ii) f est holomorphe et f'(z)= 1/z.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour
Je suppose que tu es sur un ouvert et que cet ouvert n'est pas quelconque. Je suppose qu'il existe une détermination du logarithme, sur cet ouvert, et je la note Ln.
Sens direct évident: f(z)=Ln(z)-a, donc f holomorphe et f'(z)=1/z
Réciproque. Sur cet ouvert La fonction (f-Ln)'=0 et VOILA LA TUILE! Si l'ouvert n'est pas connexe, ça ne marche pas. S'il est connexe, la fonction f-Ln est constante.
En fait je pense qu'il faut partir depuis le début avec un ouvert simplement connexe.
Ouha comme ça à l'air naturel comme ça, je n'étais pas rendu avec mes équations de Cauchy-Riemann! Merci beaucoup Camelia!
Bonjour,
En fait, j'ai crié victoire trop vite, je n'ai pas montré qu'une détermination du logarrithme est toujours holomorphe et de dérivée 1/z. J'ai pour définition de détermination du logarithme une fonction g telle que exp(g(z))=z pour tout z dans mon ouvert de départ.
Merci d'avance pour votre aide.
Ah, bon!
C'est à peu près la démonstration classique pour une dérivée de fonction réciproque:
pour z fixé:
mais à cause de la dérivabilité de l'exponentielle et de la continuité de g