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Niveau Maths sup
arithmétique:
Posté par jver
Un petit problème (tiré de Niven, Theory of Numbers):
J'ai deux nombres a et b tels que (a^2+b^2) soit divisible par (1+ab).
Soit N le quotient. Montrer que N est un carré parfait. (Il me semble qu'il y a plus: Tout c, il existe a et b tel que le quotient soit c^2)
On peut trouver une solution évidente, (b^3,b,b^2) pour N=b^2, tout b
A partir de cette solution évidente, on peut un peu améliorer et trouver(*):
(b^3,b,b^2)
(b^5-b,b^3,b^2)
(b^3(b^4-2),b^5-b,b^2)
(b^9-3b^5+b,b^3(b^4-2),b^2)
(b^3(b^8-4b^4+3),b^9-3b^5+b,b^2)
.......
..........
...........
J'ai donc trouvé, pour N=c^2, une infinité de solutions (sans avoir démontré, d'ailleurs, que je les avais toutes)
Mais comment montrer que, pour N non carré parfait, il n'y a pas de solution ???
Mystère
(*) On remarque (avec un peu d'attention) que, si (a,b,N) est solution, alors (Na-b,a,N) est solution également.
bonjour
pour l'instant, je sèche; juste une chose, est-ce que a, b et N ne doivent pas déjà avoir la même parité? à voir....
Non!
a=240; b=27; N=9!!!
Dommage.
Je suis en train d'essayer autre chose, mais je ne m'en sors pas, pour l'instant:
J'ai remarqué que (a,b,N) permet de construire (Na-b,a,N).
Je cherche donc à "descendre" d'une solution (a,b,N) vers (a',b',N) où a' ou b' < a ou b et je cherche à montrer que, si N n'est pas un carré parfait, on arrive à une merde. Mais, pour l'instant ...
Bonjour,
Je suppose que et
sont des entiers strictement positifs.
Cet exercice a été donné aux IMO en 1988 en Australie en numéro 6 (donc difficile).
J' ai une solution qui n' est pas de moi... Es-tu intéressé (ou par des indications) ?
bonjour cailloux
si toi tu trouves l'exercice difficile.... aie aie aie pour moi; je veux bien quand même un peu d'indication, on verra.
et aussi quest-ce que les IMO ?
merci
Bonjour à tous....
pas d'idées sur ce problème....
Le problème est équivalent à celui ci...
montrer que si 1 + ab divise a²+b², alors...
A= est un carré....
si p est nombre premier qui divise 1+ab, alors p² divise A, c'est évident....
mais que la valuation de p dans a soit paire, cela me parait peu évident.....
Donc voici quelques indications:
Citation :
Je cherche donc à "descendre" d'une solution (a,b,N) vers (a',b',N) où a' ou b' < a ou b et je cherche à montrer que, si N n'est pas un carré parfait, on arrive à une merde.
Je cherche donc à "descendre" d'une solution (a,b,N) vers (a',b',N) où a' ou b' < a ou b et je cherche à montrer que, si N n'est pas un carré parfait, on arrive à une merde.
C' est bien l' idée mais il y manque un petit quelque chose.
On fait un raisonnement par l' absurde en supposant l' existence d' un entier non carré parfait et d' un couple
tel que
L' astuce consiste à choisir un tel couple tel que
soit minimum.
On élimine le cas qui aboutit rapidement à une contradiction.
On suppose alors et on montre qu' il existe un nouveau couple
avec
qui vérifie notre équation avec
non carré parfait.
Pour information et pour rendre à César ce qui est à César, cette amorce de solution est tirée du livre de Paul Bourgade: Olympiades internationales de Mathématiques 1976-2005.
Pour co11, IMO est l' acronyme anglo saxon pour olympiades internationales de Mathématiques.
Citation :
si toi tu trouves l'exercice difficile.... aie aie aie pour moi;
si toi tu trouves l'exercice difficile.... aie aie aie pour moi;
Je crois que tu fais de grosses illusions sur mon compte, co11 ...
Citation :
Je suis en train d'essayer autre chose, mais je ne m'en sors pas, pour l'instant:
J'ai remarqué que (a,b,N) permet de construire (Na-b,a,N).
Je cherche donc à "descendre" d'une solution (a,b,N) vers (a',b',N) où a' ou b' < a ou b et je cherche à montrer que, si N n'est pas un carré parfait, on arrive à une merde. Mais, pour l'instant ...
Je suis en train d'essayer autre chose, mais je ne m'en sors pas, pour l'instant:
J'ai remarqué que (a,b,N) permet de construire (Na-b,a,N).
Je cherche donc à "descendre" d'une solution (a,b,N) vers (a',b',N) où a' ou b' < a ou b et je cherche à montrer que, si N n'est pas un carré parfait, on arrive à une merde. Mais, pour l'instant ...
Oui, ça a l'air de marcher......
si a;b;N solution.....
on a nécessairement a et b différents sinon 1+a² serait un diviseur de 2a² sauf si a=1 ou 0
prenons a<b
Nab+N=a²+b²
donc Nab <a²+b²
donc Nab-b²<a²
donc Na-b < a²/b <a
la solution a;b;N
conduit à la solution.....
(Na-b; a N).....
on a descendu d'un cran car a<b Na-b<a.....
de proche en proche, on arrive à .....un minimum....
calculs à vérifier.....et à terminer....
Bonjour ;
on pourra consulter ce topic 
Arithmetique 
sauf erreur bien entendu