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Arithmétique

Posté par
taupin67 02-09-09 à 14:31

Bonjour à tous,

aujourd'hui pour mon premier jour en MPSI j'ai eu le droit à un DM de mathématiques et je bloque sur un exercice (au moins)

"Trouver tous les entier naturels non nuls x dont le produit des chiffres (de l'écriture décimale) est égale à \ x^2 - 10x - 22 "

Mes premières recherches m'ont permis de trouver que le nombre x = 12 est solution, mais je n'arrive pas à en trouver d'autres. Peut-être est-ce le cas mais j'aimerai mettre de la rigueur dans tout cela. J'ai commencé par ceci:

En base 10, on a \forall n\in\mathbb{N} tel que  0 \le a_n \le 9

x = \overline{ a_n a_{n-1} . . . a_2 a_1 }

x^2 - 10x - 22 = a_n\times a_{n-1}\times . . .\times a_2\times a_1

Et là je bloque !

Si quelqu'un pouvait me donner un coup de pouce ça serait vraiment sympa

A bientôt !

Posté par
perroquetre : Arithmétique 02-09-09 à 14:42

Bonjour, taupin67

Le produit des chiffres de l'écriture décimale de x est inférieur à x.
Une solution du problème vérifie donc:
x^2-10x-22 \leq x
Cette inégalité permet de majorer x ...

Posté par
taupin67re : Arithmétique 02-09-09 à 15:08

Merci perroquet pour ta réponse !

On doit avoir \frac{11-sqrt{209}}{2} \le x \le \frac{11+sqrt{209}}{2}. Comme nous sommes dans les entiers naturels, x est compris entre 0 et 12 et par tâtonnement x = 12 fonctionne... Mais comment montrer que "Le produit des chiffres de l'écriture décimale de x est inférieur à x", pour majorer x ?

Posté par
taupin67re : Arithmétique 02-09-09 à 15:11

Ah oui et puis aussi, naturellement, x²-10x-22 doit être supérieur ou égal à 0 ce qui limite les solutions à l'entier naturel 12.

Posté par
perroquetre : Arithmétique 02-09-09 à 15:45

Avec les notations que tu as employées (mais j'écris plutôt x=\overline{a_na_{n-1}\ldots a_1a_0} ):
x \geq 10^n a_n
Chacun des a_i est inférieur à 10. Donc:
a_n ... a_0 \leq 10^na_n\leq x


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