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Niveau Maths sup
Arithmétique
Posté par gilles3
Bonjour,
j'ai un exercice où je suis bloqué. Le voici:
Soit , avec a et b pas forcément premiers.
et q|n.
Dans la décomposition en facteurs premiers de n, on veut montrer que l'exposant de q est pair.
***
Pour cela je pose ada' et b=db' avec a et b premiers entre eux, d=PGCD(a,b).
Donc .
Comme q|n et q ne divise ni a', ni b', . Donc
.
Donc
Je vois pas trop comment m'en sortir.
Je n'ai pas encore eu le temps de réfléchir à ton problème.
Je suis simplement surpris a priori de ta "constatation" : "Comme q|n et q ne divise ni a', ni b'"
"Q divise n" est une hypothèse : bon ! Mais pourquoi diable q ne diviserait ni a' ni b' ? a' et b' sont certes premiers entre eux, mais rien ne dit que chacun d'eux est premier ! Sauf si tu nous le démontres...
c'est vrai: soit n=a^2+b^2 où PGCD(a;b)=1 et q premier impair, et q|n.
q ne divise ni a, ni b: en effet, si q divise a alors il divise a². Si q divise n et a² alors il divise b². Comme q est premier il divise aussi b. Ce qui est contradictoire avec PGCD(a;b)=1.
Je suis d'accord que si "n=a^2+b^2 où PGCD(a;b)=1 et q premier impair, et q|n" alors q ne divise ni a ni b.
Mais ton hypothèse de départ est : "Soit , avec a et b pas forcément premiers et q|n."
En posant d=PGCD(a,b) tu conclus que n=d²(a'²+b'²). Je suis encore d'accord !
Mais tu poursuis avec : "comme q divise n et ne divise ni a' ni b'..."
là je ne suis plus d'accord. Ton hypothèse pour le lemme "si n=a^2+b^2 où PGCD(a;b)=1 et q premier impair, et q|n alors q ne divise ni a ni b" est que q divise n. Dans le cadre de ton utilisation actuelle, tu utilises ce lemme avec a'=a et b'=b et q divise a'²+b'². Mais cette dernière assertion n'est pas démontrée ! Ce qui est amusant, c'est que tu utilises ensuite cela pour montrer que : . En d'autres termes tu utilises un résultat pour montrer... ce résultat ! Plutôt osé, non ?
Petite question sur l'énoncé :
"Dans la décomposition en facteurs premiers de n, on veut montrer que l'exposant de q est pair"
q n'apparaît sous ce nom dans la décomposition en produit de facteurs premiers de n que si q est premier ! q est-il censé être premier ?
Bonjour à vous deux,
Pour compléter Pythamede, voici un contre exemple de ce que Gilles avancait:
a=444 et b=1295
q=37
Alors q est bien congrue à 3 modulo 4
a=37x12 et b=37x35 donc pgcd(a,b)=37 et q divise n
n=37².(12²+35²), et q divise aussi (12²+35²), car (12,35,37) est un triplet pythagoricien (= sont des entiers naturels vérifiant la relation de Pythagore)
Ptitjean