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Arithmétique équation ax+by=c
Posté par missmath
Bonsoir je voulais avoir une petite précision car le prof nous a enseigné une méthode pour résoudre ax+by=c et sur les livres je ne retrouve pas cette méthode : sur les livres il est expliqué qu'il faut calculer le ¨Pgcd de a et b puis de trouver une solution particuliere( après simplification si c'est possible de l'équation ) ensuite il est dit qu'il faut multiplié la solution particulière par c or notre prof ne l'a jamais fait je voulais avoir quelques explications . Et je voulais egalement savoir si il existait plusieurs solutions possibles ( sans tenir compte de la valeur de k ) . Merci d'avance
Bonjour,
La seule que je connaisse : si PGCD(a,b)=d ne divise pas c alors pas de solution , sinon en posant a'=a/d, b'=b/d c'= c/d on se manène à résoudre
a'x+b'y= c' avec (a',b') premiers entre eux, par l'algorithme de Bezout on trouve une solution a'x0 + b' y0= 1 alors a'c x0+ b'c'y0= c' d'où
a'(x-c'x0) = b'( c'y0-y) donc a' divise c'y0-y on peut écrire
y= c'y0 + ka' et x = c'x0-kb' on vérifie que ce sont bien des solutions .
Bonsoir,
Note d le pgcd de a et b.
Si d ne divise pas c, ton équation n'a pas de solution.
Suppose que d divise c; il existe x0 et y0 tels que ax0 + by0 = d (Bezout); alors x1 = (c/d)x0 et y1 = (c/d)y0 est une solution de ton équation; tu vérifies que x2 = x1 + (b/d) et y2 = y1 - (a/d) en est une autre; je te laisse trouver toute la famille ...