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arithmétique, primalité et décomposition en facteurs premiers
Posté par gloubiboulga
Bonjour à tous!
J'ai un petit problème...
Voici l'énoncé :
On prend un entier n>1 non primaire (c'est à dire qu'il n'est pas égal à la puissance d'un nombre premier).
1°) On montre qu'il existe r et s tels que : n=r.s, 1<r<n, 1<s<n et pgcd(r,s)=1.
(j'ai résolu cette question à l'aide de la décomposition en facteurs premiers de n, que j'ai séparé en deux parties qui sont alors r et s).
2°) Mon problème est pour la question : en déduire que pgcd(r+s,n)=1.
J'ai voulu passer par la relation de Bezout:
a,b
/a.r+b.s=1
a,b/a.r+b.s-a.s+a.s=1
a,b/a.(r+s)+(b-a).s=1
a,b/a.(r+s)+n.(b-a)/r=1
a,c/a.(r+s)+c.n=1
pgcd(r+s,n)=1
Mais alors il faut que je montre que c=(b-a)/r .
Est-ce que quelqu'un pourrait me dire si je suis sur la bonne voie? Et si oui comment montrer ce dernier point?
Sinon y a-t-il une démonstration plus facile?
Merci d'avance!
Bonjour
Pourquoi compliquer?
Soit d un diviseur premier de n. Alors d divise un et un seul des nombres r ou s, donc d ne divise pas r+s.
Bah en fait quand j'essaye de me représenter ça je le comprends bien puisque ce d n'apparaît que dans r ou (au sens exclusif) s.
Mais mathématiquement j'ai pas l'impression de prouver ce dont j'ai besoin.
Est-ce que si je dis qu'aucun des facteurs premiers de d ne divise la somme r+s ça suffit pour dire que le pgcd vaut 1?
J'arrive très bien à ma le représenter mais pas du tout à la formaliser...
ben si le PGCD ne valait pas 1, il aurait un diviseur premier p
et tu suis le raisonnement de Camélia et tu arrives à une contradiction
donc d=1
Eh oui logique un raisonnement par l'absurde...
Pff c'est blasant tellement maintenant ça parait évident...
Merci beaucoup en tout cas, toujours aussi efficaces!