Bonjour, je ne parviens pas à mettre en place le début d'une démonstration qui me semble correcte sur cette question :

Principe du procédé de cryptage :
On choisit un grand nombre premier p, on définit l'unité de message m tel que

Alice choisit un nombre a tel que
Alice calcule l'inverse a' de a dans
Alice envoie à Bob le message

Bob choisit un nombre b tel que et
Bob calcule l'inverse b' de b dans
Bob envoie à Alice le message

Alice retourne le message

Montrons que Bob est ainsi en mesure de retrouver le message m en calculant

Quelqu'un pourrait il me donner une piste?  puisqu'en fait
Si je considère :

et

J'ai ce qui suit :
puis d'après les propriétés de la relation congruence, en élevant à la puissance b :
soit encore en élevant à la puissance a'
et on a donc :


Rien de concluant n'en ressort...
J'ai aussi pensé à utiliser le théorème de Fermat avec m et p et comme
m<p et p premier on a pgcd(m,p)=1
Donc

Puis me servir ici de l'hypothèse suivante :


et comme a' est l'inverse de a dans
(on fait de même pour b)

donc qu'il existe k et k' tels que aa'-1=k(p-1) et bb'-1=k'(p-1)

Mais je ne parviens pas à retomber sur une expression simple.

Si vous avez une idée, cela pourrait m'être très utile!

Merci infiniment!