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Arithmétiques: résolutions d'équation

Posté par
spiouk 27-09-09 à 19:06

Bonjour,

J'aurai besoin d'un peu d'aide pour résoudre l'équation suivante:
Trouver les valeurs de x \in \mathbb(N) pour que le polynôme P= x^2 - 18x-3554662 soit un carré parfait.

Merci pour toutes pistes possibles.

J'ai pensé à calculer le discriminant du polynôme en pensant peu être à une idée, mais je ne vois pas quoi en faire vu sa forme:
\delta = 14 218 972
\sqrt(\delta) = 2\sqrt(3 554 743) si pas d'erreur...

Posté par
freniclere : Arithmétiques: résolutions d'équation 27-09-09 à 19:36

Bonjour

(x - 9)2 - 3554743 = y2

Posté par
spioukre : Arithmétiques: résolutions d'équation 27-09-09 à 20:40

Merci pour l'indice.

J'avais pensé à poser avec le y², mais pas à mettre le polynôme sous cette forme.

En suivant la pîste, j'ai obtenu:

k \in \mathbb{N} \\ \\ \\ \\ x^2-18x-3554662=k^2 \\ \\ ssi \\ \\ (x-9)^2-3554743=k^2 \\ \\ ssi \\ \\ x = 9 +_{-} \sqrt{k^2 + 3554743} \\


Comment puis-je prouver que x \in \mathbb{N} ?
Merci !

Posté par
spioukre 27-09-09 à 20:55

Comme mon x est un entier naturel, il me reste que:
x = 9 + \sqrt{k^2 + 3554743}

Mais, je n'ai toujours pas d'idée pour prouver que x \in \mathbb{N}

Posté par
spioukre : Arithmétiques: résolutions d'équation 27-09-09 à 21:14

J'ai écrit x sous une autre forme en pensant que ça m'aide:
x = 9 + k\sqrt{1 + \frac{3554743}{k^2}}

Posté par
spioukre : Arithmétiques: résolutions d'équation 27-09-09 à 21:18

J'ai aussi écrit 3554743 en produit de facteurs premiers:
3554743 = 1789 \times 1987 si pas d'erreur...
J'essaie de trouver un rapport, entre (enfin, s'il y en as.. mais je ne trouve pas...

Posté par
spioukre : Arithmétiques: résolutions d'équation 27-09-09 à 21:28

Au vu de mes deux dernière réflexion, j'ai bien envie de dire que P ne peut être un carré parfait.
En effet, k² doit diviser 3554743. Donc, k²=1 ou 1789 ou 1987.
Or, 1789 et 1987 ne sont pas des carré parfait car des nombres premiers.
Il ne reste plus que 1. Et 1 ne fonctionne pas.

Est-ce que quelqu'un pourrait me dire au moins si mon raisonnement est bon ou pas svp ?
Merci !

Posté par
freniclere : Arithmétiques: résolutions d'équation 27-09-09 à 22:30

(x - 9)2 - 3554743 = y2
(x - 9)2 -  y2 = 3554743
(x - 9 + y)(x - 9 - y) = 3554743 = 17891987

D'où
x - 9 + y = 1
x - 9 - y = 3554743

ou

x - 9 + y = 3554743
x - 9 - y = 1

ou
x - 9 + y = 1789
x - 9 - y = 1987

ou
x - 9 + y = 1987
x - 9 - y = 1789

Posté par
jandri Correcteurre : Arithmétiques: résolutions d'équation 27-09-09 à 22:35

Bonsoir,

Comme te l'as suggéré frenicle, factorise (x-9)²-y² et écrit l'égalité avec 1789*1987

Posté par
spioukre : Arithmétiques: résolutions d'équation 27-09-09 à 23:33

Merci pour votre aide !
Merci beaucoup !


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