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ariyhmetique

Posté par
milton 27-11-09 à 01:44

bonjour
voici un probleme que je n'arrive pas à resoudre. il s'agit de montrer que si un entier naturel k est inferieur à un autre q alors le carre de k n'est pas divisible par q
merci

Posté par
olive_68re : ariyhmetique 27-11-09 à 01:52

Salut

Désolé de "gacher" ton topic mais il en faut plus sur les entiers que tu considères puisque pour 3$k=2 et 3$q=4 on a bien 3$k<q or 3$k^2=4 donc 3$q|k^2

Posté par
miltonre : ariyhmetique 27-11-09 à 01:58

salut olive
il faut que q ne soit pas un carre parfait

Posté par
olive_68re : ariyhmetique 27-11-09 à 02:02

Il en faut encore plus puisque pour 3$k=6 et 3$q=12 on a toujours 3$k<q or 3$k^2=36=3\times 12 et 3$12 n'est pas un carré parfait.
Pourtant 3$q|k^2.

Posté par
miltonre : ariyhmetique 27-11-09 à 02:37

il faut qu'aucun carrerfait ne divise q

Posté par
miltonre : ariyhmetique 27-11-09 à 02:46

il faut qu'aucun carre parfait ne divise q

Posté par
olive_68re : ariyhmetique 27-11-09 à 03:08

Ben je sais pas si c'est ce que tu attends mais voilà ce que j'en pense.

On va faire ça par l'absurde:

On suppose que 3$q|k^2 ainsi 3$k^2=m\times q \ \ m\in \bb{N et que 3$k\neq 0

En divisant par 3$k^2 on obtient : 3$1=\fr{m\times q}{k^2}.

Donc trois cas : ( Th. de Gauss )

       \fbox{.} Soit 3$k^2|m.

       \fbox{.} Soit 3$k|m et 3$k|q.

       \fbox{.} Soit 3$k^2|q.

Or 3$q n'est pas divisible par un carré parfait et 3$k<q donc 3$k ne divise pas 3$q.

Donc 3$k^2|m, ainsi 3$m=m^{\prime}k^2 \ \ \ m^{\prime}\in \bb{N}.

Ce qui signifie que 3$k^2=m^{\prime}k^2q soit 3$k^2(1-m^{\prime}q)=0

C'est à dire que 3$m^{\prime}q=1 car 3$k\neq 0.

Ainsi 3$m^{\prime}=q=1 car 3$m^{\prime},q\in \bb{N}.

Or 3$k\ge 1 et 3$k<q soit 3$q\ge 2.

Il y a donc absurdité, donc 3$q ne divise pas 3$k^2 sous réserve que 3$k<q et que 3$q ne soit pas divisible par un carré parfait.

Voilà Voilà

Posté par
olive_68re : ariyhmetique 27-11-09 à 03:18

Oups j'ai fais une erreur dans une de mes hypothèses puisque 3$k pourrait très bien diviser 3$q (L'argument "car 3$k<q" ne tient donc pas).

Je continue de chercher un argument qui contredirait le second point

Posté par
olive_68re : ariyhmetique 27-11-09 à 03:26

Je pense avoir trouvé, tu me diras ce que tu en penses :

Si 3$k|m et 3$k|q alors 3$k|mq cela signifie que 3$k=1 (3$k^2=mq )

Donc 3$mq=1 ainsi 3$m=q=1 or 3$k<q d'où l'absurdité.

Tu es d'accord avec mon raisonnement ? J'en suis pas sur mais c'est ce que je propose quoi

Posté par
miltonre : ariyhmetique 27-11-09 à 03:36

pourquoi le coefficient de k^2 est 1?

Posté par
olive_68re : ariyhmetique 27-11-09 à 03:38

Dans mon tout dernier poste ? Car 3$k=1

Posté par
miltonre : ariyhmetique 27-11-09 à 03:44

je suis peutetre unpeu lent à comprendre ;mais pourquoi k serait begale à 1

Posté par
miltonre : ariyhmetique 27-11-09 à 03:57

Posté par
olive_68re : ariyhmetique 27-11-09 à 03:59

Ah je crois que j'ai raconté des bêtises ..

Ce n'est pas parce que 3$k|mq et que si 3$k^2=mq que 3$k=1.
Si 3$k|mq alors 3$mq=nk \ \ n\in \bb{N} donc si 3$k^2=mq alors 3$nk=1 pour les mêmes raisons que précédement 3$n=k=1

Voilà pourquoi 3$k doit être égale à 3$1.

Ok ?

Posté par
olive_68re : ariyhmetique 27-11-09 à 04:02

rhooo! c'est de nouveau faux ce que je dis..

Oublie mon poste précédent je recommence..

Désolé de ne pas savoir t'aider correctement .. j'espère en tout cas que tu as déjà compris pour tout le reste

Posté par
olive_68re : ariyhmetique 27-11-09 à 04:10

Si 3$k|mq alors 3$mq=nk \ \ n\in \bb{N} donc si 3$k^2=mq alors 3$k^2=kn soit 3$k=n.

Donc 3$n^2=mq et la on est dans la même m***e que au tout début.

Je vais créer un nouveau topic dans lequel je met un lien vers ce topic pour qu'on puisse t'aider.

Désolé de ne pas avoir su t'aider jusqu'au bout ..

Posté par
miltonre : ariyhmetique 27-11-09 à 04:15

je dirai plutot merci à toi et bonne nuit

Posté par
olive_68re : ariyhmetique 27-11-09 à 04:19

Voilà c'est fait.

Tu devrais avoir une réponse demain

Bonne nuit à toi aussi merci

Posté par
esta-fettere : ariyhmetique 27-11-09 à 08:35

bonjour....

prenons ceci:

Citation :
Hypothèse:
k < q et q | k²


et on va montrer que q est divisible par un carré.

1. doit d = PGCD(k;q)

k=k'd et q= q'd et q' et k ' premiers entre eux. et détail important : q > k donc q'd > k'd donc q'>k' donc q' >1

on a q | k² = (k'd)²

donc il existe un entier M tel que :k'² d² = M q
k'² d²= M q'd
k'² d = M q'

or q' est premier avec k' donc q' | d²

ON SAIT que q'>1 donc q' possède au moins un diviseur premier : u ( u > 1 puisqu'il est premier)
q' est un diviseur de d² donc u divise d² et puisque u est premier u | d.

CONCLUSION u² est un diviseur de q'd=q

Posté par
infophilere : ariyhmetique 27-11-09 à 09:56

Bonjour esta,

Tu peux directement dire que q' divise d.

Posté par
olive_68re : ariyhmetique 27-11-09 à 13:06

Salut esta-fette , Salut Kévin

Merci pour vos réponses

milton >> Il y a encore une autre réponse encore sur le topic que j'ai crée : Arithmétique .

En tout cas ça ressemble pas du tout à ce que j'ai écris ..

Posté par
olive_68re : ariyhmetique 27-11-09 à 13:06

Kévin pardon ^^

Posté par
infophilere : ariyhmetique 27-11-09 à 13:08

Salut olive


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