Bonjour tout le monde !

Alors j'ai un DM à rendre et j'ai fait quasiment tous les exos mais j'aurai besoin de petites vérifications et quelques conseils pour le 3e et le 4e exercice

Voila le sujet ** image de l'énoncé scanné effacée **

( désolé je n'ai pas réussi à mettre l'image directement sur le forum )

EXERCICE 3 Pour celui là je vous demande juste si le raisonnement et les résultats vous semblent corrects.

Il faut déterminer les nombres complexes z tel que z, z^2 et z^4 soient alignés.

Il s'agit de montrer que

On factorise par z

Cas Particulier

Si z=0 , z=z²=z^4 ils sont confondus donc alignés.

Si z différent de 0 on peut simplifier par z et on obtient


2e Cas particulier

Si z = 1 alors z = z² = z^4 ils sont confondus donc alignés.

Si z différent de 1 on peut écrire que ( identité remarquable et simplifier par z-1 ce qui nous amène à

et ce nombre est réel sssi sa partie imaginaire vaut zéro ce qui après identification de cette partie nous mène à

x=-1/2 ou y=0

Conclusion : Les complexes z tels que z z² et z^4 soient alignés sont

z = 0
z = 1
z = x ( x réel )
z = -1/2   iy   ( y réel )




EXERCICE 4 ( plus corsé je n'ai pas encore tout trouvé mais je cherche encore )


Pour la 1/ ( je ne suis pas sur )

J'ai écris que pour M ( x ; y )  M' ( x' ; y' ) x x' y y' réels différents de 0





Dont l'écriture analytique de f se déduit en remplaçant dans l'expression vectorielle de f en séparant bien les x et les y.

x' = x/(x² y²)
y'= y/(x² y²)

Ensuite soit M d'affixe z et M' d'affixe z' avec z et z' complexes non nuls.




D'où

2/


3/
f(M) = M
1/z = z
z² = 1

z = 1
z = -1

4/

Là j'ai de gros doutes mais bon je vois pas trop comment vérifier...

J'ai montré que

x² y² ax by = 0 est équivalent à

(x a/2)²   (y b/2)² =(a² b²)/4 ( même méthode que pour la démo du discriminant )

Donc que les cercles de l'équation donnée sont les cercle de de centres K ( -a/2 ; -b/2 ) et de rayon (a b)/2 mais je ne sais pas comment montrer que c'est bien l'ensemble des cercles de rayon non nul passant par O ( à part que O est bien solution ) et je ne suis pas sûr qu'il y ait bien équivalence entre l'ensemble cherché et l'équation et donc que je puisse "remonter ainsi" mais sinon je vois pas comment faire.

Pour les autres questions toute aide est bienvenue je cherche encore mais je bloque ^^

Merci d'avance !

PS : Sinon pour LaTeX il ya un moyen d'aller plus vite que taper toute les formules à la main ? Car ça devient vite long mais bon c'est surement car je n'ai pas l'habitude ^^

Edit Coll : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum [lien]