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Niveau Maths sup
bijection
Posté par PCSI
Bonjour, voilà je bloque pour la résolution d'un exo,voici l'énoncé:
Citation :
Soit D={z
\(module de z)<1} et aD. soit fa l'application de D dans D définie par:
fa(z)=(z-a)/(1-bz) b est le complexe conjugué de a
Montrer que fa est bijective.
Soit D={z
\(module de z)<1} et aD. soit fa l'application de D dans D définie par:
fa(z)=(z-a)/(1-bz) b est le complexe conjugué de a
Montrer que fa est bijective.
Je ne vois pas trop comment faire, faut il utiliser une fonction réciproque?
Merci d'avance pour toute piste pouvant m'aider.
Cordialement
Bonjour,
Il n'est nul par demandé d'expliciter la réciproque de cette application.
Démontre que fa est injective (ie fa(x)=fa(y)=>x=y) puis surjective (pour tout y dans D il existe au moins un x dans D tel que fa(x)=y)
good luck
Alors pour la surjection voilà ce que j'ai fait:
Citation :
On cherche yD tel que y=fa(z)
<=> y=(z-a)/(1-bz)
<=> z=(y+a)/(1+by)
Donc il existe au moins un antécèdent tel que y=fa(z)
Donc la fonction est surjective
On cherche y
D tel que y=fa(z)
<=> y=(z-a)/(1-bz)
<=> z=(y+a)/(1+by)
Donc il existe au moins un antécèdent tel que y=fa(z)
Donc la fonction est surjective
Bon je pense que c'est ça non?
Par contre pour l'injection voila ce que j'ai fait:
Citation :
On cherche z1,z2D tel que :
f(z1)=f(z2 )
<=> z1(1-ab)=z2(1-ab)
<=> z1=z2
On cherche z1,z2
D tel que :
f(z1)=f(z2 )
<=> z1(1-ab)=z2(1-ab)
<=> z1=z2
Donc là je ne vois pas pourquoi il faut que j'utilise |a|<1 ???
Merci bien
Une petite erreur pour l'injectivité :
z1(1-ab)=z2(1-ab) <=> z1=z2
Dans le cas général, z1=z2 est une condition suffisante mais non nécessaire pour avoir z1(1-ab)=z2(1-ab), il ne s'agit pas d'une équivalence : imagine que 1-ab=0... (3*0=2*0 n'implique pas 2=3^^)
Le cas 1-ab=0 est heureusement exclu car |a|<1 et |b|<1, et donc |a||b|<1, donc |ab|<1 donc ab
1.
Ca a l'air de rien, mais dans les barêmes des concours, tu serais éffaré du nombre de points (une bonne moitié) que l'on peut perdre en oubliant d'envisager un cas comme celui-ci.