Désolé, "élément de |F_p^*"

F_p = /p

Quel est ce d de ta question ?

Pardon, j'ai emmelé les variables, d c'est u.

Sinon c'est bien ça Fp.

Bonjour

Dans on a pour tout x non nul. Si , on a . Bien sur 0 est un carré, et il ne vérifie pas ta relation.

D'accord. Merci Camélia.

Il s'agit de montrer que :"un élément u de |P* est un carré dans F_p si et seulement d^(p-1)/2 1 modulo p."
càd si G = F_p* , C = { x² | x G} , H = {  x G | x^(p-1)/2 = 1} que   C = H .
Remarque :  Si U = X^{(p -1)/2} - 1 F_p[X] , H est l'ensemble de ses racines  .  

C H puisque G est un groupe fini ayant (p - 1)/2 éléments .On a donc Card(C) Card(H) (p-1)/2
Pour terminer il ne reste plus qu'à montrer que Card(C) = (p - 1)/2 ce qui peut se faire ainsi :
  Soit : x x² de G vers C. C'est un morphisme surjectif  de groupes . Son noyau est formé des x de G vérifiant x² - 1 = 0 càd (x - 1)(x + 1) = 0 .
On a donc  Ker() = {-1 , 1} et C étant isomorphe à G/Ker() posséde card(G)/2 = (p -1)/2 éléments .    

Merci pour ta réponse aussi bien rédigée.

1.Oui Card(G) = p - 1 et si x C on peut trouver y G tq x = y²  donc ...(cf camelia )

2. Ce que j'utilise (et à savoir pour travailler avec les groupes)

Soient (H,.) et (K,.)  des groupes et u : K K , un morphisme de groupes .
On sait que u(H) est un sous groupe de K et Ker(u)un sous groupe distingué de H.
.La relation xy^-1 Ker(u) (on peut la noter R si on veut) est une équivalence . On désigne par l'application de H sur H/R qui à x associe sa classe modulo R .(On dit que c'est la surjection canonique de H sur H/R)
.Si a H et X H/R , alors  aX = {ax | x X } = Xa   H/R et X et aX sont en bijection par _a : x ax et aussi par _a : x xa
.Soient X et Y dans H/R (autrement dit 2 classes pour R)  { (xy) | x X , y Y } est un singleton . On le note {X.Y} .
  On définit ainsi sur H/T une loi de groupe (encore notée . s'il n'y a pas de danger) et est un morphisme surjectif de groupes de H sur H/R.
.Si X   H/R  , { f(x) | x X } est un singleton . On le note { u*(X) } . u* est un isomorphisme de groupes de H/R sur u(H).
.Enfin : u = u* o (factorisation canonique de u)


Application : Si H est fini il en est de même pour Ker(u) , Card(Ker(u)) | card(H) et Card(u(H)) = Card(H)/Card(Ker(u))

Merci beaucoup pour toutes ces explications  kybjm !
Ton raisonnement est beaucoup plus clair. (On avait vu les groupes quotient mais on ne maitrise pas encore ce type de raisonnement.)


Card(Ker(u)) | card(H) (Que signifie ici le trait de séparation ?)

Pour a et b entiers ou A et B polynômes le "|"   de a|b  et  A|B est "divise"

Ah, je pensais que c'était une séparation, je n'ai pas fait le rapprochement avec "|" comme division.

Merci !

Bonne journée