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Niveau seconde
carré parfait
Posté par mj33
le but de cetexercice est de démontrer la propriété suivante
le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de 1 est un carré parfait
- vérifier cette propriété sur deux exemples
-montrer que pour tout réel x, x(x+1)(x+2)(x+3)+1= (x[/sup]2+3x+1)[sup]2
- conclure
x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = (x²+x)(x²+5x+6)+1
x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = x^4+5x³+6x²+x³+5x²+6x+1
x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = x^4+6x³+11x²+6x+1
(x² + 3x + 1)² = (x² + 3x + 1)(x² + 3x + 1) = développer ...
(x² + 3x + 1)² = x^4+6x³+11x²+6x+1
--> x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = (x² + 3x + 1)²
Si x est entier, x(x+1)(x+2)(x+3)+1 est le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de 1.
Si x est entier, (x² + 3x + 1) est entier et donc (x² + 3x + 1)² est un carré parfait.
--> le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de 1 est un carré parfait
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Sauf distraction. 