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Coefficients binomiaux et cosinus...

Posté par
Nitra05 09-09-08 à 22:26

Bonsoir !

j'aimerais savoir, sachant que x apartient à R et n appartient à N comment cacluler (de k=0 à n) (k parmis n) coskx .
Ce serait de meme pour sinkx ....

Que dois je utilisé, commens doisje debuter !

J'ai besoin de vous !!

Mercii

Posté par
Nightmarere : Coefficients binomiaux et cosinus... 09-09-08 à 22:33

Salut

On écrit que 3$\rm \Bigsum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} cos(kx)=\mathsc{Re}\[\Bigsum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} e^{ikx}\]=\mathsc{Re}\[(1+e^{ikx})^{n}\] A toi de continuer.

Posté par
Nitra05re : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 14:33

Bonjour,
Commens fais tu pour trouver partie relle de (1+e^ikx)^n ?¨
J'aimerais savoir comment arriver à cette expression
De plus je ne vois aps pourquoi le k est toujours present...
Merci de m eclairer

Posté par
robby3re : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 14:45

Salut tout deux,

\rm \large cos(kx)=Re(exp(ikx)) \\ \\ et (1+exp(ikx))^n=\Bigsum_{k=0}^n C_n^k exp(ikx) par la formule du binome de Newton...sauf erreur.

Posté par
Nitra05re : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 14:46

Non, en fait ca va, j ai bien compris le deroulement...
Je trouve en resulat C(x) = 2^n . [cos(kx/2)]^2n

Est ce bien cela ?

Posté par
slorevivre : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 14:57

bonjour,

Citation :
\Bigsum_{k=0}^{n}%20C_{n}^{k}%20cos(kx)=\mathsc{Re}\[\Bigsum_{k=0}^{n}%20C_{n}^{k}%20e^{ikx}\]=\mathsc{Re}\[(1+e^{ikx})^{n}\]
???
moi j'aurais mis \Bigsum_{k=0}^{n}%20C_{n}^{k}%20cos(kx)=\mathsc{Re}\[\Bigsum_{k=0}^{n}%20C_{n}^{k}%20e^{ikx}\]=\mathsc{Re}\[(1+e^{ix})^{n}\]et enfin \Bigsum_{k=0}^{n}%20C_{n}^{k}%20cos(kx)=\mathsc{Re}\[\Bigsum_{k=0}^{n}%20C_{n}^{k}%20e^{ikx}\]=\mathsc{Re}\[(1+e^{ix})^{n}\]=2^ne^{i{nx\over 2}}(\cos ({x\over2}))^n

Posté par
Nitra05re : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 14:58

Je ne suis aps d'accord avec vous dans ta formule du binome de newton (x + y)^n : x correpond à 1 et y à e^ix

Posté par
Nitra05re : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 15:23

sloreviv, ton expression est fausse car la presence de e^i(nx/2) annonce la presence d un imaginaire, alor qu'(il nous faut la partie relle.

Posté par
robby3re : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 15:27

je me permet juste une petite remarque qu'il faut avoir en tete...la formule du binome de Newton n'est valable que dans un anneau commutatif...

Posté par
Nitra05re : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 16:56

De plus, grace au resultat trouvé, je dois rechercher (k=0 à n) (-1)^k ( k parmis n)
J'ai trouvé 0.
Est ce bien cela ?

Posté par
slorevivre : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 17:01

OK excuse !
donc je retente en prenant partie réelle: 2^n\cos({nx\over 2})(\cos({x\over 2}))^n

Posté par
slorevivre : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 17:06

verif avec n=2
1+2\cos(x)+\cos(2x)=1+\cos(2x)+2\cos(x)=2\cos(x)^2+2\cos(x)=2\cos(x)(\cos(x)+1)=2\cos(x)\times 2\cos({x\over 2})^2

Posté par
slorevivre : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 17:09

Citation :
De plus, grace au resultat trouvé, je dois rechercher (k=0 à n) (-1)^k ( k parmis n)
J'ai trouvé 0.
Est ce bien cela ?


oui si tu as un nombre pair de termes (on les prends deux à deux (1+(-1))+(1+(-1)).... or il y a (n+1) termes ,
donc
n impair \Longrightarrow Somme=0
n ipair \Longrightarrow Somme=-1

Posté par
Nitra05re : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 17:15

Oui, c'ets bien cela, je sui d'accord avec toi
Maintenant, à l'aide des calculs effectues avant, je dois trouver :

(k=0 à n) (-1)^k ( k parmis n)

Cette somme ets bien egal à 0 ?
En realité, c'ets la place du coefficient binomial qui me gene....

Posté par
Nitra05re : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 17:20

Merci cloreviv, je navais pa actualisé donc je n'avais aps vu ton message avant le dernier que j'ai posté.
Je comprends ta methode, cependant je dois deduire cette somme du caclcul precedent... :s

Posté par
slorevivre : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 17:34

bon , je relis je crois que ce topic deraille entre ce que tu as pose et ce que t'as dit Nightmare
Nulle part il n'y avait de C_n^pdans ton msg... et je me suis embarque avec ce qu'a dit Nightmare!!
je reprends tout ca: tu demandes \Re(\Sigma_{k=0}^{k=n}(e^{ikx}))=\Re ({1-e^{i(n+1)x}\over 1-e^{ix}})=\Re (e^{nx\over 2}\times {\sin({(n+1)x\over 2})\over \sin({x/2})})=\cos({nx\over 2})\times {\sin({(n+1)x\over 2})\over \sin({x/2})}

ensuite tu fais x=\piet on trouve -1 et 0 selon n

Posté par
slorevivre : Coefficients binomiaux et cosinus... 10-09-08 à 17:42

   hum!!! décidément!!Somme=0 ou 1

car n pair alors n=2p \cos(p\pi)\times \sin((p+0.5)\pi)=((-1)^p))^2=1
n impair alors n=2p+1 \cos(p\pi+{\pi\over 2})\times \sin((p+1)\pi)=0


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