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complexe: somme de cosinus

Posté par
geronimo 652 12-09-09 à 19:24

bonsoir à tous,

voilà je rencontre quelques petits problèmes pour calculer ceci:
\sum_{k=0}^{n} cos^2(kx)

ce que j'ai fais: déjà j'ai remplacer cos^2(kx) par \frac{1+cos(2kx)}{2}

j'ai donc \sum_{k=0}^n \frac{1+cos(2kx)}{2} =\sum_{k=0}^n \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sum_{k=0}^n cos(2kx)


soit j'ai \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=0}^n Re(e^{2ikx})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}Re(\sum_{k=0}^n e^{2ikx})

et là je ne sais pas quoi faire et j'ai l'impression qu'il y a une faute lorsque je separe en deux sommes...

merci à ceux qui voudront passer un peu de temps à m'aider

Posté par
raymond Correcteurre : complexe: somme de cosinus 12-09-09 à 19:29

Bonsoir.

2$\textrm\Bigsum_{k=0}^n\fra{1}{2} = \fra{n+1}{2}

Pour 2$\textrm\fra{1}{2}\scr{R}e\Big[\Bigsum_{k=0}^n e^{2ikx}\Big]

pense à la somme des termes d'une suite géométrique de raison : exp(2ix)

Posté par
geronimo 652re : complexe: somme de cosinus 12-09-09 à 19:31

pourquoi somme de 0 à n de 1/2 vaut (n+1)/2?

Posté par
raymond Correcteurre : complexe: somme de cosinus 12-09-09 à 19:34

Compte les "1/2" : il y en a n+1

Posté par
geronimo 652re : complexe: somme de cosinus 12-09-09 à 19:37

mais 1/2 ne dépend pas de k ? comment on traduit \sum_{k=0}^n 1/2 ?

Posté par
raymond Correcteurre : complexe: somme de cosinus 12-09-09 à 19:42

Le "1/2" apparaît à chaque valeur de k.

Posté par
geronimo 652re : complexe: somme de cosinus 12-09-09 à 19:44

ah ok !
donc je cherche le résultat et je vous le poste pour savoir si c'est juste...

Posté par
raymond Correcteurre : complexe: somme de cosinus 12-09-09 à 19:47

A plus.

Posté par
geronimo 652re : complexe: somme de cosinus 12-09-09 à 19:53

3$\sum_{k=0}^n e^{2ikx}= \frac{1-e^{i2x}^{n+1}}{1-e^{i2x}} c'est bien ça?

Posté par
raymond Correcteurre : complexe: somme de cosinus 12-09-09 à 21:02

Oui.

Le numérateur est :

4$1-e^{2i(n+1)x}

Maintenant, tu dois chercher la partie réelle de cette fraction.

Je te conseille de mettre ei(n+1)x en facteur au numérateur et eix en facteur au dénominateur.

Tu pourras alors, par les formules d'Euler, revenir à des sinus.


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