Bonjour, Leitoo

Suppose par l'absurde que |z|>1 et majores astucieusement

    (par )

On aboutit à une contradiction

Je vous avoue être un petit peu pommé, surtout fatigué après 7heures d'exercices de maths.

Merci de votre aide.

     (inégalité triangulaire)

Or, pour k inférieur ou égal à n et pour |z|>1    

...

Bon courage

Je dirais même que l'inégalité est stricte si k<n

Merci Beaucoup pour votre aide. J'ai essayé, mais je n'y arrive pas vraiment.



Mon inégalité est dans l'autre car l'équation initiale est avec des "-"

Je n'arrive pas a montrer que pour |z|>1 il n'y a pas de solution (sauf une) ...

L'équation s'écrit:



Comme tu le constates, il n'y a plus de signe -. Et il est facile de montrer que cette égalité est impossible lorsque   |z|>1   , avec l'indication que j'ai donnée.

Pour  |z|=1, c'est un petit peu plus compliqué

Merci de ton aide.




Et pour tout k < n on a 1 < |z|^k < |z|ⁿ
d'ou n < n|z|^k < n|z|ⁿ

Dans le cas |z|>1, on aurait donc:

On aurait donc:

Ce qui est impossible

Oui merci beaucoup. Ensuite pour montrer celle qui n'est pas de module < 1 comment peut-on procéder ?

Je suppose que c'est pour |z|=1 et n = 1.

La racine qui n'est pas de module <1 est exactement    z=1  (il est facile de vérifier que z=1 est solution de l'équation).

Il reste à montrer que l'équation n'admet pas de racine de module 1, différente de 1.
Et, ici, si z était de module égal à 1, distinct de 1, on aurait:

On aurait donc   n < n   ...

il y a contradiction et la question est terminée.

Merci de ton aide Perroquet. =)

Je dois ensuite montrer que les racines sont simples. Dois essayer de le factoriser, ou supposer qu'il existe des racines doubles et montrer qu'elles sont disctinctes ?

L'équation s'écrit:



Elle peut donc s'écrire:


Les racines multiples de sont les x tels que

On trouve   x=1
1 est racine multiple de , mais seulement racine simple de .

Donc, toutes les racines de sont simples

Merci pour ton aide, c'est vraiment sympa.

Simplement je n'ai pas vu en cours comment montrer que des racines sont simples, j'ai un peu chercher sur internet, mais je n'ai pas trouvé grand chose.

"Les racines multiples de Q_n sont les x tels que
Q_n(x)=Q'_n(x)=0"

Pour montrer que des racines sont multiples il faut trouver les x tel que Q_n(x) = Q'_n(x)

N'aurais tu pas une explication brève sur les racines simple. Merci beaucoup

a est une racine simple de P si et seulement si   P(a)=0 et
a est une racine multiple de P si et seulement si  P(a)=P'(a)=0